Логарифмическая производная

Логарифмической производной функции называется производная от натурального логарифма модуля этой функции, т.е.

. (9)

Замечание. Формула (9) получена из формулы (7) с учётом равенства . Последнее справедливо, так как при и при .

Из формулы (9) производная у' функции выражается
через логарифмическую производную в виде

. (10)

Пример. Продифференцировать функцию

.

Решение. Прологарифмируем заданную функцию и, используя свойства логарифмов, получим

.

Дифференцируем полученное выражение:

.

Используя формулу (10), найдём производную данной функции:

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Очевидно, что . Тогда

.

Следовательно, .

Производная обратной функции

Пусть функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀ и имеет производную в этой точке

.

Тогда существует производная обратной функции в соответствующей точке , причём

,

или

, т.е. (11)

Известно, что для функций , обратными являются соответственно функции

. С помощью формулы (11) можно вывести производные для указанных обратных функций, зная производные исходных функций.

Например, функция является обратной для , . Учитывая, что при , по формуле (11) имеем

,

или .

Поиск по сайту: