АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Производная

Читайте также:
  1. Для любой ли функции существует производная?
  2. Задачи к теме 2. Производная и дифференциал функции
  3. Логарифмическая производная
  4. Производная и первообразная функции
  5. Производная неявно заданной функции
  6. Производная неявной функции
  7. Производная сложной и обратной функции.
  8. Производная сложной функции
  9. Производная сложной функции (продолжение)
  10. Производная сложной функции.
  11. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Рассмотрим функцию y=f (x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть D x - приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или D f приращение функции, равное f (x +D x) – f (x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента D x соответствует беско­нечно малое приращение функции D f.

Отношение D f /D x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f (x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина D x, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f (x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах D x её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f (x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение D y / D x или, что то же самое (f (x + D x) - f (x)) / D x, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента D x. Эта функция не определена в точке D x = 0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f (x + D x) – f (x)) / D x в точке D x = 0, то он называется производной функции y = f (x)в точке x и обозначается или (x):

.

Нахождение производной функции y = f (x)называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить (x), то функция f (x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f (x)в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что (x)» D f / D x, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше D x. Производная (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между D f и D x.

Производная функции f (x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x 0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 2.

 

Так функция y = ê x ê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

 

f (x) f (x) f (x)
C   cos x -sin x
x   ln x 1/ x tg x 1/cos2 x
xn nxn- 1 ax ax ln a arcsin a
1/(2 ) arccos a -
1/ x -1 / x 2 sin x cos x arctg x 1/(1+ x 2)

Приведем теперь основные свойства производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует (x), и С ‑ произвольное число, то функция имеет производную: (Cf (x)) ¢ = Cf¢ (x).

3. Если существуют (x (x), то функция S (x) = f (x) + g (x) имеет производную: (x) = (x) + (x).

4. Если существуют (x) и (x), то функция P (x) = f (x) g (x) имеет производную: (x) = (x) g (x) + f (x) (x).

5. Если существуют (x) и (x) и при этом g (x) ¹ 0, то функция D (x) = f (x) / g (x) имеет производную: (x) = ( (x) g (x) - f (x) (x)) / g 2(x).

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g (x) имеет производную в точке x, а функция f (z) имеет производную в точке z = g (x). Тогда сложная функция F (x) = f (g(x))имеет в точке x производную (x) = (z) g ¢ (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.


1 | 2 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)