Геометрический и механический смыслы производной

Рассмотрим график функции , определенной в окрестности точки (рис. 2).

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей MN при стремлении точки N к точке M по кривой.

Установим геометрический смысл производной .

По определению

Числа

, , , , ,

геометрически выражают соответственно длины следующих отрезков:

BN, AM, OB, OA, NC, AB (или МС).

Тогда дробь

- отношение катетов прямоугольного треугольника MCN, т.е. тангенс угла .

Если , то точка N стремится к точке М по кривой, причём прямая MN стремится занять положение касательной к кривой в точке М. Имеем

,

где − угол между положительным направлением оси Ox и касательной к кривой в точке М.

Итак, геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции в точке х ₀ равна тангенсу угла между положительным направлением оси Ox и касательной к кривой в точке , т.е. угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

Выясним механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется по прямой так, что в каждый момент времени t она находится на расстоянии s (t) от некоторой начальной неподвижной точки О. В этом случае функция определяет закон движения этой точки.

За промежуток времени от момента t до момента точка пройдет путь, равный . Средняя скорость такого движения равна . За истинную скорость движения точки в момент t естественно принять предел средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка времени , т.е.

.

Таким образом, с механической точки зрения производная функции , задающей закон прямолинейного движения точки, равна мгновенной скорости движения точки в момент времени t. В более широком смысле − производная функции в точке равна скорости изменения функции при изменении аргумента в точке .

Пример. Материальная точка движется по закону (м). Определить:

а) среднюю скорость движения точки за первые 3 секунды пути;

б) скорость в момент времени t = 3 c.

Решение. а) Найдём среднюю скорость по формуле

.

При имеем (м/с).

б) Используя формулу 1 табл. 1, определим скорость в момент t = 3 c как значение при t = 3: (м/с).

Поиск по сайту: