Геометрический, физический и экономический смысл производной функции

Геометрический смысл производной. Пусть функция y = f (x) определена на интервале (а, b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х ₀, а точка Р - значению х ₀+D х. Проведем через точки М и Р прямую и назовем её секущей. Обозначим через j (D х) угол между секущей и положительным направлением оси Ох. Очевидно, что этот угол зависит от D х.

Если существует , то прямую с угловым коэффициентом k = tgj ₀, проходящую через точку М (х ₀; f (x ₀)) называют предельным положением секущей МР при D х ®0 (или при Р ® М).

Определение 1: Касательной S к графику функции у = f (x) в точке М называется предельное положение секущей МР при D х ®0 (или при Р ® М).

Итак, производная функции y = f (x) в точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в точке М (х ₀; f (x ₀)) и равна тангенсу угла наклона касательной с положительным направлении оси абсцисс.

Физический смысл производной. Предположим, что функция y = f (x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т. е. у = f (х)-путь, пройденный точкой М от начала отсчёта за время х.

Тогда за время х ₀ пройден путь y = f (x ₀), а за время х ₁ - путь y = f (x ₁).

За промежуток времени D х = x ₁- х ₀ точка М пройдёт отрезок пути D y = f (x ₁)- f (x ₀)= f (x ₀+D х)- f (x ₀).

Отношение D у /D х называется средней скоростью движения (v _ср) за время D х, а предел отношения D у /D х при D х ®0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени х ₀ (v _мгн).

Экономический смысл производной. Предположим, что функция y = f (x) описывает количество произведённой продукции за время х.

Тогда за время х ₀ произведено продукции y = f (x ₀), а за время х ₁ - продукции y = f (x ₁).

За промежуток времени D х = x ₁- х ₀ будет произведено продукции D y = f (x ₁)- f (x ₀)= f (x ₀+D х)- f (x ₀).

Отношение D у /D х называется средней производительностью труда (z _ср) за время D х, а предел отношения D у /D х при D х ®0 определяет мгновенную производительностью труда в момент времени х ₀ (z _мгн).

Таким образом, производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Рассмотрим ещё одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть D х - прирост продукции, тогда D y - приращение издержек производства и D у /D х - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Тогда производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Производная функции показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента.

§35 Таблица производных