АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение производной функции

Читайте также:
  1. A. Определение элементов операций в пользу мира
  2. I. Определение потенциального валового дохода.
  3. I. Определение, классификация и свойства эмульсий
  4. II. Определение геометрических размеров двигателя
  5. II.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ЛА
  6. IV. Определение массы вредных (органических и неорганических) веществ, сброшенных в составе сточных вод и поступивших иными способами в водные объекты
  7. IX. Определение размера подлежащих возмещению убытков при причинении вреда имуществу потерпевшего
  8. P.2.3.2.1(с) Определение удельной теплоемкости твердых тел
  9. V. Предварительное определение хозяйства
  10. VIII. Определение размера страховой выплаты при причинении вреда жизни и здоровью потерпевших
  11. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
  12. Б) Определение жёсткости

Приращение – это величина, на которую увеличивается переменная величина.

Пусть на некотором промежутке X определена функция y = f (x).

Проделаем следующие действия:

· возьмем любую точку х 0Î Х и зададим аргументу х в точке х 0 произвольное приращение D х такое, что точка х 0+D х также принадлежит X или х = х 0+D х;

· функция получит приращение D у = f (х 0+D х)- f (x 0) или D у = f (х)- f (x 0);

· составим отношение приращения функции к приращению аргумента;

· найдём предел этого отношения при D х ®0;

 

Определение 1: Производной функции у = f (x) в точке х 0 называется предел при D х ®0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует):

 

Определение 2: Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если её приращение D y в этой точке можно представить в виде D y = А D х + a (D х)D х,

где А - некоторое число, не зависящее от D х, а a (D х) - функция аргумента D х, являющаяся бесконечно малой при D х ®0, т. е. . Доказано, что А = f¢ (х 0).

Например: у = х 3: D y =(х 0+D х)3- х 03=3 х 2D х +3 х (D х)2+(D х)3, где А =3 х 2, не зависящее от D х, а a (D х)=3 х D х +(D х)2 - функция аргумента D х, являющаяся бесконечно малой при D х ®0, т. е. .

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема 1: Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируема в точке х 0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

 

Теорема 2: Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке х 0, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке.


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)