АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема 1

Читайте также:
  1. Решение произвольных систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.
  2. Розподіл прав власності. Теорема Коуза.
  3. Состояние термодинамических систем. Стационарные состояния в открытых термодинамических системах. Теорема Пригожина. Понятие гомеостаза.
  4. Теорема 1
  5. Теорема 1. О единственности предела
  6. Теорема Виета.
  7. Теорема Лейбница

Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

 

Доказательство:

Пусть ряд сходится абсолютно. Тогда сходится ряд . Отсюда имеем, что ряд тоже сходится. Рассмотрим ряд . Заметим, что . Следовательно, по теореме о мажоранте ряд сходится. Но ряд . Значит, что сходится и ряд . ■

 

Теорема 2 Теорема Римана

Пусть - некоторое число и ряд - сходится условно. Тогда члены ряда можно представить так, что его сумма равна .

Доказательство:

Для доказательства теоремы используем следующую лемму.

Лемма

Пусть ряд является условно сходящимся. Тогда его можно представить в виде суммы двух рядов , где - ряд с неотрицательными членами, а - ряд с отрицательными членами, причем оба ряда расходятся.

{*Пусть . Рассмотрим ряд . По условию ряд - расходится, тогда хотя бы один из рядов ( или ) должен расходиться.

*}.

 

Пусть число - для определенности неотрицательное . По лемме его () можно записать в виде: , где - ряд, составленный из неотрицательных членов ряда, а - ряд, составленный из отрицательных членов ряда.

По лемме ряды и - расходятся. Выберем из ряда подряд столько членов, чтобы их сумма превышала и чтобы меньшее число таких членов не превышало , т.е. выберем число такое, что:

. Это можно сделать, так как ряд - расходится, т.е. .

Выберем число таким, что , . Это можно сделать, так как ряд - расходится, т.е. .

Выберем число таким, что , .

Выберем число таким, что … и т. д. Получим ряд: .

Рассмотрим последовательность его частичных сумм: , , , …, , … , , … Причем отклонение от числа каждой из частичных сумм не превышает ее последнего члена по модулю, т.е. можно записать следующее неравенство . По условию ряд сходится, т.е. его общий член стремится к нулю, а это значит, что . Если взять любую частичную сумму ряда , то всегда можно найти такой номер , зависящий от , что , . По теореме о двух милиционерах получаем, что .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)