Теорема Лейбница

Знакочередующийся ряд

(1)

сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:

1) , (2)

2) . (3)

Доказательство. Частичную сумму четного порядка первых членов ряда (1) можно записать в виде:

Из условия (2) следует, что выражение в каждой скобке есть неотрицательное число. Значит, сумма неотрицательна и с возрастанием не убывает.

Перепишем так:

.

Так как каждая из скобок неотрицательна, то, следовательно

Итак, при возрастании не убывает и ограничена сверху. Значит, существует конечный предел

Мы доказали, что последовательность четных частичных сумм имеет предел, равный . Покажем, что частичные суммы нечетного порядка также стремятся к пределу .

Частичная сумма первых членов ряда равна

По условию (3) теоремы, , поэтому

Доказано, что как при четном, так и при нечетном . Значит, ряд (1) сходится.

Замечание 1. Теорема Лейбница остается справедливой, если неравенства (2) выполняются начиная с некоторого номера .

Замечание 2. При доказательстве теоремы мы видели, что четные частичные суммы приближаются к сумме ряда не убывая.

Написав в виде

легко установить, что нечетные частичные суммы стремятся к не возрастая. Таким образом,

.

В частности,

.

Замечание 3. Дадим оценку для -остаточного ряда рассматриваемого ряда.

Нетрудно видеть, что

.

Таким образом, остаток ряда лейбницевского типа имеет знак своего первого члена и не больше его по абсолютной величине. Ошибка, совершаемая при замене на , не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Замечание 4. 1) Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно, чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю монотонно.

Так, например, ряд

расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю.

Действительно, , где

,

,

причем

( – частичная сумма гармонического ряда);

существует и конечен ( – частичная сумма сходящейся геометрической прогрессии).

Следовательно,

2) Для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться, если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не монотонно.

Например, ряд

сходится абсолютно, но признак Лейбница не выполнен: абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю, но не монотонно.

Пример 1. Знакочередующийся ряд

является условно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин, есть гармонический ряд, который расходится. Сам же ряд согласно признаку Лейбница сходится, так как

1) при любом ,

2) .

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение.

1)Первое условие в теореме Лейбница выполняется, т.к. ;

2) .

Ряд расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

§ 5. Ряды с комплексными членами

Определение1. Рассмотрим последовательность комплексных чисел где . Комплексное число называется пределом последовательности если для любого сколь угодно малого числа найдется такой номер , что все значения с номерами удовлетворяют неравенству .

Пишем в этом случае: .

Необходимое и достаточное условие существования предела последовательности комплексных чисел состоит в следующем: число является пределом последовательности комплексных чисел

тогда и только тогда, когда

Определение 2. Ряд

членами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если частичная сумма ряда при имеет конечный предел. В противном случае ряд называется расходящимся.

Так же как и для рядов с вещественными членами, легко установить следующие теоремы.

1. Сходимость ряда не изменится, если отбросить конечное число его начальных членов или присоединить в начале его несколько членов.

2. Остаток сходящегося ряда стремится к нулю при .

3. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и тоже число, то новый ряд будет сходиться, а его сумма будет равна сумме данного ряда, умноженной на это же число.

5. Если сходятся ряды и и их суммы равны и , то сходятся и ряды и их суммы равны .

Исследование сходимости ряда с комплексными членами можно свести к исследованию сходимости двух рядов с вещественными членами на основании следующей теоремы.

Теорема. Для сходимости ряда

где (1)

необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды

, (2)

(3)

Если суммой ряда (2) является число , а суммой ряда (3) число , то суммой ряда (1) служит комплексное число .

Действительно, , где

; ,

и теорема следует из теоремы о пределе последовательности комплексных чисел.

Теорема. Если сходится ряд составленный из модулей членов ряда , то и данный ряд сходится.

Доказательство. Имеем

; .

По признаку сравнения заключаем, что ряды и сходятся. Но тогда сходятся ряды и , следовательно, и ряд Теорема доказана.

Определение. Если сходится не только ряд , но и ряд , то данный ряд называется абсолютно сходящимся.

Определение. Если ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся.

Для исследования на сходимость ряда используются признаки сходимости положительных рядов.

Приложение

Задание 1. Найти сумму ряда.

1.1	1.2
1.3	1.4
1.5	1.6
1.7	1.8
1.9	1.10
1.11	1.12
1.13	1.14
1.15	1.16
1.17	1.18
1.19	1.20
1.21	1.22
1.23	1.24
1.25	1.26
1.27	1.28
1.29	1.30

Задание 2. Найти сумму ряда.

2.1	2.2
2.3	2.4
2.5	2.6
2.7	2.8
2.9	2.10
2.11	2.12
2.13	2.14
2.15	2.16
2.17	2.18
2.19	2.20
2.21	2.22
2.23	2.24
2.25	2.26
2.27	2.28
2.29	2.30

Задание 3. Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости.

3.1	3.2
3.3	3.4
3.5	3.6
3.7	3.8
3.9	3.10
3.11	3.12
3.13	3.14
3.15	3.16
3.17	3.18
3.19	3.20
3.21	3.22
3.23	3.24
3.25	3.26
3.27	3.28
3.29	3.30

Задание 4. Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости.

4.1	4.2
4.3	4.4
4.5	4.6
4.7	4.8
4.9	4.10
4.11	4.12
4.13	4.14
4.15	4.16
4.17	4.18
4.19	4.20
4.21	4.22
4.23	4.24
4.25	4.26
4.27	4.28
4.29	4.30

Задание 5. Исследовать на сходимость сравнением с геометрической прогрессией.

5.1	5.2
5.3	5.4
5.5	5.6
5.7	5.8
5.9	5.10
5.11	5.12
5.13	5.14
5.15	5.16
5.17	5.18
5.19	5.20
5.21	5.22
5.23	5.24
5.25	5.26
5.27	5.28
5.29	5.30

Задание 6. Исследовать на сходимость сравнением с обобщенным гармоническим рядом.

6.1	6.2
6.3	6.4
6.5	6.6
6.7	6.8
6.9	6.10
6.11	6.12
6.13	6.14
6.15	6.16
6.17	6.18
6.19	6.20
6.21	6.22
6.23	6.24
6.25	6.26
6.27	6.28
6.29	6.30

Задание 7. Исследовать на сходимость, используя известные эквивалентности.

7.1	7.2
7.3	7.4
7.5	7.6
7.7	7.8
7.9	7.10
7.11	7.12
7.13	7.14
7.15	7.16
7.17	7.18
7.19	7.20
7.21	7.22
7.23	7.24
7.25	7.26
7.27	7.28
7.29	7.30

Задание 8. Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера.

8.1	8.2
8.3	8.4
8.5	8.6
8.7	8.8
8.9	8.10
8.11	8.12
8.13	8.14
8.15	8.16
8.17	8.18
8.19	8.20
8.21	8.22
8.23	8.24
8.25	8.26
8.27	8.28
8.29	8.30

Задание 9. Исследовать на сходимость с помощью радикального признака Коши.

9.1	9.2
9.3	9.4
9.5	9.6
9.7	9.8
9.9	9.10
9.11	9.12
9.13	9.14
9.15	9.16
9.17	9.18
9.19	9.20
9.21	9.22
9.23	9.24
9.25	9.26
9.27	9.28
9.29	9.30

Задание 10. Используя интегральный признак исследовать ряд на сходимость.

10.1	10.2
10.3	10.4
10.5	10.6
10.7	10.8
10.9	10.10
10.11	10.12
10.13	10.14
10.15	10.16
10.17	10.18
10.19	10.20
10.21	10.22
10.23	10.24
10.25	10.26
10.27	10.28
10.29	10.30

Задание 11. Исследовать на сходимость ряд.

11.1	11.2
11.3	11.4
11.5	11.6
11.7	11.8
11.9	11.10
11.11	11.12
11.13	11.14
11.15	11.16
11.17	11.18
11.19	11.20
11.21	11.22
11.23	11.24
11.25	11.26
11.27	11.28
11.29	11.30

Задание 12. Вычислить сумму ряда с точностью .

12.1	12.2
12.3	12.4
12.5	12.6
12.7	12.8
12.9	12.10
12.11	12.12
12.13	12.14
12.15	12.16
12.17	12.18
12.19	12.20
12.21	12.22
12.23	12.24
12.25	12.26
12.27	12.28
12.29	12.30

Задание 13. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами.

13.1	13.2
13.3	13.4
13.5	13.6
13.7	13.8
13.9	13.10
13.11	13.12
13.13	13.14
13.15	13.16
13.17	13.18
13.19	13.20
13.21	13.22
13.23	13.24
13.25	13.26
13.27	13.28
13.29	13.30

Библиографический список

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.Ч.2./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986.

2. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа./ А.В.Ефимов, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1981.

3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высшая школа, 1983.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. – М.: Наука, 1978.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2.– М.: Наука, 1987.

СОДЕРЖАНИЕ

Поиск по сайту: