Признаки Коши

Теорема 1. Пусть имеется ряд

.

1) Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

то ряд сходится.

2) Если, начиная с некоторого номера,

то ряд расходится.

Доказательство.

1) Предположим, что неравенство

выполняется с

Запишем это неравенство для разных значений :

или ;

или ;

или .

Рассмотрим два ряда:

, (1)

(2)

Ряд (2) есть геометрическая прогрессия с положительным знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится. Члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2). На основании первого признака сравнения приходим к выводу, что ряд (1) сходится.

2) Если при любом выполняется неравенство то

или ;

или ;

или .

Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Теорема 2 (предельный признак Коши). Если для ряда с положительными членами

(1)

величина имеет конечный предел при , т.е.

(3)

то:

1) в случае ряд сходится;

2) в случае ряд расходится;

3) в случае требуются дополнительные исследования.

Доказательство.

1) Пусть . Рассмотрим число , удовлетворяющее соотношению .

По определению предела и из соотношения (3) имеем: (в том числе и ) , что для всех выполняется неравенство

или .

Из последнего неравенства следует, что

В силу теоремы 1, т.к. , следует сходимость ряда (1).

2) Пусть . Тогда из равенства

следует, что, начиная с некоторого номера , т.е. для всех выполняется неравенство

Отсюда следует, что

По теореме 1 это означает, что исходный ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Применим предельный признак Коши:

Значит, ряд сходится.

Пример2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. По предельному признаку Коши

,

ряд расходится.

Пример 3. Как и в признаке Даламбера, случай

требует дополнительных исследований. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут быть как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.

Так, для гармонического ряда (известно, что он расходится)

Для ряда также имеет место равенство

но он сходится, так как, если отбросим первый член, то члены оставшегося ряда будут меньше соответствующих членов сходящегося ряда

Отметим, что во всех случаях, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда, ответ может быть получен и с помощью признака Коши. Обратное утверждение неверно: признак Коши сильнее признака Даламбера.

Поиск по сайту: