Основные теоремы

Числовые ряды

Методические указания

В. Новгород

УДК 517.2 Печатается по решению

РИС НовГУ

Рецензенты

Канд. ф.-м. наук, доцент В.А. Едемский

Числовые ряды: Метод. Указания. / Авт.-сост. С.А. Цапаева. НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Новгород, 2005.– 49с.

Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с теорией числовых рядов, подробно разобраны практические примеры.

Приведены задания для самостоятельной работы.

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса технических специальностей.

УДК 517.2

©Новгородский государственный

Университет, 2005

© Цапаева С.А.

составление 2005

ВВЕДЕНИЕ

Теория числовых рядов является одной из основных тем в математическом образовании инженера, особенно электротехнических и радиотехнических специальностей.

Методические указания содержат основные теоретические сведения по теории числовых рядов и подробные решения задач по всем разделам данной темы.

Приведены задания для расчетно-графических работ по изучаемой теме для самостоятельной работы студентов.

§1. Основные положения теории числовых рядов

Основные понятия

Определение 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел Выражение

(1)

называется числовым рядом, а сами числа – членами ряда.

Вместо (1), пользуясь символом суммы, пишут , где пробегает все значения от 1 до (нумерацию членов ряда иногда удобнее начинать не с единицы, а с нуля или с какого-либо натурального числа, большего единицы).

Определение 2. Сумма конечного числа первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда:

Рассмотрим частичные суммы:

Определение 3. Если конечный предел то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится.

В противном случае (т.е. если при или предел не существует) ряд называется расходящимся и суммы не имеет.

Пример1. Простейшим примером ряда является геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем

(2)

Сумма первых членов геометрической прогрессии равна (при )

или .

1) Если то при и .

Значит, при ряд (2) сходится и его сумма равна .

2) Если то при и тогда при , т.е.

не существует. Значит, при ряд (2) расходится.

3) Если то ряд (2) имеет вид

В этом случае , т.е. ряд расходится.

4) Если то ряд (2) имеет вид

В этом случае

Значит, предела не имеет и ряд (2) расходится.

Таким образом, геометрическая прогрессия (с первым членом, отличным от нуля) сходится тогда и только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Пример 2. Рассмотрим ряд

, где . (3)

Частичная сумма этого ряда (т.к. )

имеет предел при и, следовательно, ряд (3) сходится.

Пример 3. Рассмотрим гармонический ряд

(4)

(каждый член его, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов).

Рассмотрим частичную сумму этого ряда с номером

.

Разобьем ее на части и применим к каждой из них очевидное неравенство

получим:

Мы видим, что частичные суммы образуют возрастающую неограниченную сверху последовательность и, значит, гармонический ряд расходится.

Основные теоремы

I. Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то .

Доказательство. Так как ряд

сходится, то имеют место равенства

где – сумма ряда.

Вычитая из первого равенства второе почленно, получаем

Так как то .

Подчеркнем, что рассмотренный признак не является достаточным, т.е. из того, что не следует, что ряд сходится, – он может и расходиться.

Примером этого служит рассмотренный выше гармонический ряд: он расходится, хотя

Следствие. Если n -ый член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

II. Критерий сходимости ряда

Определение. - остаточным рядом для ряда называется ряд, который получается в результате отбрасывания первых его членов:

Теорема. Для того, чтобы сходился ряд

(1)

необходимо и достаточно, чтобы сходился любой его - остаточный ряд

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда в смысле его сходимости или расходимости.

Доказательство. Пусть – частичная сумма ряда (1), – сумма отброшенных членов, – сумма членов ряда, входящих в и не входящих в Тогда имеем

,

где – постоянное число, не зависящее от .

Из последнего соотношения следует, что:

1) если ,

2) если ,

что доказывает справедливость теоремы.

III. Если ряд

(5)

сходится и его сумма равна , то ряд

(6)

где – какое либо число, также сходится и его сумма равна .

Доказательство. Обозначим -ую частичную сумму ряда (5) через , а ряда (6) через . Тогда

.

Значит, предел -ой частичной суммы существует, так как

.

Ряд (6) сходится и его сумма равна .

IV. Если ряды

, (7)

(8)

сходятся и их суммы, соответственно, равны и , то ряды

, (9)

(10)

также сходятся и их суммы, соответственно, равны

и .

Доказательство. Обозначая частичную сумму ряда (9) через , а частичные суммы рядов (7) и (8) через , получим

.

Переходя в этом равенстве к пределу при , получим

.

Таким образом, ряд (9) сходится и его сумма равна .

Аналогично доказывается, что ряд (10) сходится и его сумма равна .

§ 2. Положительные ряды

Рассмотрим вопрос о сходимости рядов, члены которых неотрицательны, для краткости такие ряды будем называть просто положительными.

Поиск по сайту: