Признаки сравнения рядов с положительными членами

Пусть даны два ряда с положительными членами

, (1)

(2)

Теорема 1. Если, начиная с некоторого , выполняется неравенство

,

то: 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении, мы можем считать, не нарушая общности, что при всех значениях

Обозначим через и , соответственно, частичные суммы первого и второго рядов:

1) Из условия (3) следует, что

. (4)

Так как ряд (2) сходится, то существует предел последовательности частичных сумм

Из того, что члены рядов (1) и (2) , следует, что , и тогда в силу неравенства (4)

.

Мы показали, что частичные суммы ограничены. При увеличении частичная сумма не убывает. А из того, что последовательность частичных сумм не убывает и ограничена сверху, следует, что она имеет предел

.

Это означает, что ряд (1) сходится; причем очевидно, что .

2) Так как члены ряда (1) , то его частичная сумма не убывает при возрастании , а так как он расходится, то

В силу условия (4) и последовательность частичных сумм ряда (2) неограничена. Значит, ряд (2) расходится.

Пример1. Ряд

сходится, т.к. его члены при не больше соответствующих членов ряда

Последний ряд сходится, так как его члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .

Пример 2. Для исследования на сходимость ряда

сравним его с рядом

Так как при любом натуральном и гармонический ряд расходится, то расходящимся является и данный ряд.

Теорема 2. Если существует предел

,

то оба ряда (1) и (2) ведут себя одинаково, т.е. либо сходятся, либо расходятся одновременно. (Предполагаем, что ).

Доказательство.

1) Пусть существует

По определению предела: для любого числа существует такое натуральное число , зависящее от , что для всех выполняется неравенство

. (5)

Перепишем неравенство (5) в виде

или

Пусть ряд (2) сходится и , тогда сходится и ряд

,

полученный умножением его членов на постоянное число . Отсюда по теореме 1 следует сходимость ряда (1)

2) Пусть ряд (2) расходится и . В этом случае отношение имеет

конечный предел.

Ряд расходится, так как в противном случае, если бы он сходился, то сходился бы и ряд

Пример. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Сравним его с расходящимся гармоническим рядом

.

Так как , то по теореме 2 данный ряд расходится.

Теорема 3. Если, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство

(6)

(предполагаем, что ), то

1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Доказательство. Предположим, что неравенство (6) выполняется при любом , тогда

.

Перемножив почленно эти неравенства, получим

или .

Так как ряд получается из ряда (2) умножением его членов на постоянную то он одновременно с рядом (2) или сходится или расходится.

Применяя теперь теорему 1, убеждаемся в справедливости доказываемой теоремы.

Поиск по сайту: