Интегральный признак сходимости ряда

Пусть члены ряда

(1)

положительны и не возрастают, т.е.

и пусть – такая непрерывная невозрастающая функция, что

(2)

Тогда:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (1);

2) если этот интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

Доказательство. Изобразим члены ряда геометрически, откладывая по оси абсцисс номера членов ряда, а по оси ординат – значения членов ряда

На этом же чертеже построим график непрерывной невозрастающей функции , удовлетворяющей условию (2).

Найдем площади построенных ступенчатых фигур. Площадь ступенчатой фигуры над графиком функции равна сумме площадей прямоугольников, у которых основания равны 1, и высоты . Сумма площадей этих прямоугольников равна сумме первых членов ряда. Площадь области, ограниченной кривой и прямыми равна Следовательно,

(3)

Площадь ступенчатой фигуры, содержащейся внутри криволинейной фигуры, равна сумме площадей прямоугольников с основаниями 1 и высотами т.е. равна Следовательно,

,

. (4)

1) Пусть сходится, т.е. имеет конечное значение.

Так как

то в силу неравенства (4)

Значит, ограничена при любом . При возрастании частичная сумма возрастает, так как члены ряда положительны. Следовательно, существует конечный предел

т.е. ряд (1) сходится.

2) Если несобственный интеграл расходится, то неограниченно возрастает при возрастании n.

В силу неравенства (3) также неограниченно возрастает при , т.е. ряд (1) расходится.

Замечание. Теорема остается справедливой, если условия выполняются, начиная с некоторого .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим интегральный признак, положив .

Все условия теоремы выполнены. Рассмотрим интеграл

Устремим к бесконечности, выясним, сходится ли несобственный интеграл, а вместе с ним и ряд, при различных .

1) Если , то , т.е. интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.

2) Если , то , следовательно, и ряд расходится.

3) При расходится, ряд также расходится.

§ 3. Знакопеременные ряды

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Теорема 1. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если знакопеременный ряд

(1)

удовлетворяет условию, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(2)

сходится, то и данный ряд также сходится.

Доказательство. Обозначим через и частичные суммы первых членов ряда (1) и (2).

Пусть – сумма всех положительных, – сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых членов данного ряда (1), тогда

По условию, так как ряд (2) сходится, имеет предел . Последовательности являются возрастающими последовательностями, очевидно, меньшими . Следовательно, они имеют пределы и .

Из соотношения следует, что имеет предел, равный , т.е. знакопеременный ряд (1) сходится.

Определение. Знакопеременный ряд

(1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(2)

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся.

С помощью понятия абсолютной сходимости теорему 1 можно сформулировать следующим образом: любой абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

Для исследования на абсолютную сходимость ряда (1) можно использовать для ряда (2) известные признаки сходимости положительных рядов. В частности, ряд (1) сходится абсолютно, если

или ,

В общем случае из расходимости ряда (2) не следует расходимость ряда (1). Но, если

или

то расходится не только ряд (2) но и ряд (1).

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

– любое число.

Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин

Так как при любом , а ряд сходится, то сходится и ряд . Следовательно, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Отметим без доказательства свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Теорема2. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный при любой перестановке его членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд.

Теорема3. Если ряд сходится условно, то в результате перестановки его членов можно получить ряд, сумма которого равна любому наперед заданному числу. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что полученный ряд окажется расходящимся.

§ 4. Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида

где .

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Поиск по сайту: