Признаки Даламбера

Теорема 1. Рассмотрим ряд с положительными членами

.

1) Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство то ряд сходится.

2) Если, начиная с некоторого номера, то ряд расходится.

Доказательство.

1) Предположим, что неравенство

выполняется с , так как отбрасывание первых членов ряда не влияет на сходимость.

Запишем это неравенство для разных значений :

или ;

или ;

или .

Рассмотрим два ряда:

, (1)

(2)

Ряд (2) есть геометрическая прогрессия с положительным знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится. Члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2). На основании первого признака сравнения следует, что ряд (1) сходится.

2) Если же при любом , то

Значит, не может стремиться к 0. Нарушается необходимое условие сходимости ряда. Ряд (1) расходится.

Теорема 2 (предельный признак Даламбера). Если в ряде (1)с положительными членами отношение -ого члена к -ому при имеет конечный предел , т.е.

, то (3)

1) ряд сходится в случае ;

2) ряд расходится в случае ;

3) в случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда тео-

рема не дает.

Доказательство.

1) Пусть . Рассмотрим число , удовлетворяющее соотношению

.

Из определения предела и соотношения (3) следует, что для всех , начиная с некоторого номера , будет иметь место неравенство

. (4)

Действительно, так как величина стремится к пределу , то разность между величиной и числом может быть сделана (начиная с некоторого номера ) по абсолютному значению меньше любого положительного числа, в частности меньше , т.е.

Из последнего неравенства и следует неравенство (4). В силу предыдущей теоремы, так как , следует сходимость ряда (1).

2) Пусть Тогда из равенства

следует, что, начиная с некоторого номера , т.е. для , будет иметь место неравенство

или .

По теореме 1 это означает, что ряд (1) расходится.

Замечание. Ряд (1) расходится и в том случае, если

Это следует из того, что в этом случае, начиная с некоторого , будет иметь место неравенство

.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Так как , то

.

Значит, ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Так как то

.

Ряд расходится.

Пример 3. Применяя предельный признак Даламбера к гармоническому ряду , имеем

и, следовательно,

Значит, на основании предельного признака Даламбера нельзя установить сходимость или расходимость рассматриваемого ряда. Ранее было установлено, что этот ряд расходится.

Пример 4. Предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда

так как

Ранее было показано, что частичная сумма первых членов этого ряда равна

и имеет предел , значит, ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, но так как

для всех ,

то данный ряд расходится.

Поиск по сайту: