 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Определение 1. Пусть и - ряды с положительными членами
Пусть 
и 
- ряды с положительными членами. Если найдется номер 
такой, что 
, то ряд называют мажорантой ряда , а ряд называют минорантой ряда .
Теорема 2 Теорема о мажоранте
Пусть ряд является мажорантойряда . Тогда:
1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;
2) если ряд расходится, то расходится и ряд .
Доказательство:
1. Пусть ряд сходится. Так как, начиная с некоторого номера , выполняется неравенст-
во: , то 
. По условию ряд 
сходится. Следовательно, последовательность 
его частичных сумм ограничена. Тогда ограниченной будет последовательность 
частичных сумм ряда 
, что означает его сходимость. Значит, сходится и ряд .
2. Пусть ряд расходится. Предположим противное, т.е. ряд сходится. Тогда из пункта 1 данной теоремы следует, что ряд сходится. Получили противоречие.
Следствие 2
Пусть и - ряды с положительными членами. Тогда, если существует конечный предел 
, то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство:
Пусть существует конечный предел . Тогда найдется такой номер , начиная с которого выполняется неравенство 
, или 
. По теореме 5 из правой части неравенства и сходимости ряда следует сходимость ряда . Если же ряд расходится, то из левой части неравенства по теореме 5 следует расходимость ряда .
Поиск по сайту: