АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

Читайте также:
  1. Второе следствие теоремы Котельникова.
  2. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии
  3. Критериев подобия (p-теорема)
  4. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера
  5. Основная теорема о поверхностях второго порядка
  6. Основная теорема Шеннона для дискретного канала с помехами.
  7. Первое следствие теоремы Котельникова.
  8. Природа діамагнетизму. Теорема Лармора
  9. РАВНОМЕРНАЯ ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
  10. Решение произвольных систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.
  11. Розподіл прав власності. Теорема Коуза.

Теорема Котельникова – для восстановления исходного сигнала по его выборочным значениям, выбранным через равные промежутки времени, частота выборки должна в 2 раза превосходить верхнюю частоту в спектре дискретизирующего сигнала.

 

Доказательство:

 

Пусть исходная функция , описывающая передаваемый сигнал, имеет спектральную характеристику , когда - верхняя частота в спектре.

 

Обратное преобразование Фурье (из спектра получить функцию, восстановить):

Формула 2:

 

– где n – любое целое число.

 

Функция в моменты отсчетов принимает следующий вид:

Формула 3:

 
 
Функция на интервале существования может быть разложена в ряд Фурье (т.к. она периодическая функция).

 

Рис 2

 

Ряд Фурье:

– амплитуда каждой гармоники

Формула 4:

Сравнивая Формулу 3 и Формулу 4 мы получаем выражение для :

Выразим теперь через отсчеты исходной функции:

Формула 5:

Поскольку суммирование ведется по положительным и отрицательным n, знак перед n можно изменить на противоположный.

Подставив последнее в Формулу 2, определяем функцию в любой момент времени:

Используя сходимость ряда Фурье, мы можем изменить порядок суммирования и интегрирования.

В полученном выражении вычислим интеграл.

Подставив этот интеграл в предыдущее выражение:

Что и дает исходную функцию.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (2.236 сек.)