Задача Коши. Смешанные задачи. Операторный метод

Пусть

Задача К (Коши). Найти в области D решение уравнения

(1)

из класса удовлетворяющее начальному условию

(2)

где заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

Теорема. Если абсолютно интегрируема на то решение задачи К существует и единственно.

Доказательство. Единственность решения задачи К следует из тождества

интегрируя которое по ограниченной замкнутой области

, применяя формулу Грина, что очевидно можно сделать ввиду свойств функции и ее частных производных, при однородности начального условия (2), в пределе при получим

.

Откуда, в силу в . Значит, на основании того, что и получим в , что и требовалось доказать.

Общее решение уравнения (1) в операторной форме имеет вид

(3)

произвольная функция, дважды непрерывно дифференцируема и абсолютно интегрируема на .

Правую часть равенства (3) следует понимать, как экспоненциальный оператор дифференцирования действует по переменной на функцию .

На основании условия (2), найдем т.е.

(4)

искомое решение задачи Коши (1)-(2) в области , записанное в операторной форме.

Найдем интегральное представление решения задачи Коши (1)-(2).

Учитывая представление экспоненты в виде ряда, из (4) будем иметь

(5)

Известно [17], что любая непрерывная функция определенная на , может быть представлена в виде

(6)

где

(7)

дельта-функция Дирака.

В силу (6), (7), свойств функции , из (5) имеем

и поэтому

т.е.

(8)

где [17, 2.3.15.11]

(9)

Функция Грина или фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Выясним условия применимости формулы (8).

Докажем, что формула

(10)

называемая интегралом Пуассона, для любой непрерывной и ограниченной функции представляет при ограниченное решение уравнения теплопроводности, непрерывно примыкающее при к т.е.

Покажем, во-первых, что если функция ограничена, то интеграл (10) сходится и представляет ограниченную функцию. В самом деле

т.к.

Покажем далее, что интеграл (10) удовлетворяет уравнению теплопроводности при . Для этого достаточно доказать, что производные этого интеграла при можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла.

В случае конечных пределов интегрирования это законно, т.к. все производные функции Грина (9) при непрерывны. Для возможности дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла. После дифференцирования под знаком интеграла выделяется множитель в положительной степени, который остается под знаком интеграла, и множитель в некоторой степени, который можно вынести из под знака интеграла. Таким образом, дифференцируя (10) несколько раз по и , мы получим сумму интегралов вида

(11)

Производя замену переменных

преобразуем интеграл (11) к виду

Откуда легко видеть, что этот интеграл равномерно сходится при т.к. подынтегральная функция мажорируется функцией

которая интегрируема в промежутке .

Таким образом, функция определяемая формулой (10), непрерывна и имеет производные любого порядка по и при Т.к. подынтегральная функция удовлетворяет уравнению (1) при (подынтегральная функция (9) фундаментальное решение уравнения теплопроводности), то отсюда следует, что и функция удовлетворяет этому уравнению при .

Докажем теперь, что функция (10) удовлетворяет начальному условию (2), т.е. что

при любом Запишем интеграл (10) так

(12)

с помощью подстановки

Далее, т.к.

то, вычитая это равенство из (12) получим

откуда

(13)

Пусть сколь угодно малое число. Выберем столь большим, что

(14)

Разбивая промежуток интегрирования на три:

и принимая во внимания неравенство

и оценка (14), будем иметь

В силу непрерывности при все достаточно близких к нулю, и при имеем

Значит,

и тем более

т.е., в силу равенства

мы имеем при всех достаточно близких к нулю, и при всех откуда ввиду произвольности и следует

Замечание 1. Можно требовать от лишь непрерывности и абсолютной интегрируемости на

Поиск по сайту: