Задача Коши. Операторный метод

Рассмотрим в области D задачу Коши (1)-(3). Уравнение (1) запишем в виде

(1')

где – оператор дифференцирования, т.е. уравнение (1') – это уравнение второго порядка по переменной t, а – оператор, действующий по х на функцию U(x,t).

Общее решение уравнения (1') можно записать в форме

, (24)

где – произвольные функции, на которые соответственно действуют операторы , .

На основании (2)-(3), получим

,

,

т.е. , .

Подставляя найденные значения в (24), придем к операторной форме решения задачи Коши (1)-(3):

. (25)

Пусть функция F(x) удовлетворяет условиям Дирихле, непрерывна во всяком конечном интервале и абсолютно интегрируема на . Тогда имеет место формула Фурье

, (26)

которая может быть представлена еще другим образом:

, (27)

где – дельта-функция Дирака.

На основании (26) или (27)-(28) имеем

действие экспоненциального оператора дифференцирования.

Будем считать, что функции обладают выше указанными свойствами функции F(x).

Тогда, в силу (29), из (25) найдем

Поиск по сайту: