Задача Коши. Метод интегральных преобразований Фурье

При решении многих задач математической физики очень эффективным является метод интегральных преобразований Фурье.

Пусть функция F(x) удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. имеет конечное число максимумов и минимумов) и непрерывна во всяком конечном интервале; пусть далее, F(x) абсолютно интегрируема в интервале , т.е. существует интеграл . Поставим в соответствие функции F(x) другую функцию

, (8)

где . Функция называется интегральным преобразованием Фурье функции F(x). С помощью интеграла Фурье

, (9)

нетрудно показать, что функция F(x) выражается через свое преобразование Фурье следующим образом

. (10)

Правая часть формулы (10) называется обратным преобразованием Фурье.

Будем искать решение задачи Коши для неоднородного уравнения (1), т.е.

, (11)

при начальных условиях (2)-(3) в форме

. (12)

Предполагая, что интеграл (12) равномерно сходится и его можно дифференцировать, из (11), (2)-(3) для нахождения неизвестной функции (интегральное преобразование Фурье функции ) придем к задаче

где , (16)

, (17)

, (18)

Найдем общее решение уравнения (13) методом вариации произвольных постоянных Лагранжа (можно также применить преобразование Лапласа).

Общее решение однородного уравнения (13) имеет вид

. (19)

Будем искать частное решение уравнения (13) в форме (19), заставив варьировать постоянные , т.е.

(20)

Для определения получим систему

откуда

т.е.

Значит, в силу (20), найдем

Последнее равенство в совокупности с (19) дает общее решение уравнения (13):

(21)

Учтя в (21) условия (14)-(15), придем к системе

из которой

и потому (21) примет вид

(22)

Подставляя (22) в (12) и учитывая (16)-(18), будем иметь

Равенство (23) является искомым решением задачи Коши (11), (2)-(3), если причем

Поиск по сайту: