 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Замечание 2
|
Читайте также: |
1. Общее решение неоднородного уравнения теплопроводности
(15)
где 
состоит из общего решения однородного уравнения (1) в операторной форме (3) и частного решения неоднородного уравнения (15), которое найдем методом Лагранжа вариации произвольной постоянной функции.
Действительно, будем искать частное решение уравнения (15) в форме (3), т.е. в виде
(16)
где 
функция подлежащая определению.
Подставляя (16) в уравнение (15) будем иметь
т.е.
и поэтому
(17)
На основании (16) и (17) получаем частное решение
(18)
Таким образом, в силу (3) и (18) найдем общее решение неоднородного уравнения теплопроводности (15) в форме
(19)
а решение задачи Коши для уравнения (15), удовлетворяющее условию (2) в виде
(20)
Интегральное представление решения (20) можно найти с учетом (6)-(7) аналогично (8):
(21)
где 
функция Грина, определяемая равенством (9).
2. Общее решение уравнения (15) можно получить в форме (19) другим путем, поскольку уравнение (15) представимо тождеством
(22)
Тогда
т.е.
и, значит,
Замечание 3. Пусть 
Задача 
(смешанная). Найти в области 
решение уравнения (1) из класса 
, удовлетворяющее начальному условию
(23)
и граничному условию
(24)
где 
заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем 
Задача 
(смешанная). Найти в области 
решение уравнения (1) из класса 
удовлетворяющее начальному условию
(25)
и граничным условиям
(26)
где заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем 
Решения задач и в операторной форме имеет вид (4), т.е.
(4)
когда 
(задача ) и 
(задача ).
Для получения интегральной формы решения задачи следует иметь ввиду, что
(27)
(28)
а для задачи
(29)
(30)
Замечание 4. Для уравнения
(31)
можно рассмотреть задачу Коши и задачи и .
Общее решение уравнения (31) в операторной форме имеет вид
(32)
где 
Поэтому решение задачи Коши для уравнения (31) при начальном условии (2), в силу (6)-(7), в интегральной форме можно записать равенством (8), где
(33)
Аналогично, с учетом (27)-(28) и (29)-(30), можно найти решения соответственно задач и в областях и для уравнения (31).
Поиск по сайту: