АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Замечание 2

Читайте также:
  1. Замечание
  2. Замечание 1.
  3. Замечание 2
  4. Небольшое предварительное замечание
  5. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

1. Общее решение неоднородного уравнения теплопроводности

(15)

где состоит из общего решения однородного уравнения (1) в операторной форме (3) и частного решения неоднородного уравнения (15), которое найдем методом Лагранжа вариации произвольной постоянной функции.

Действительно, будем искать частное решение уравнения (15) в форме (3), т.е. в виде

(16)

где функция подлежащая определению.

Подставляя (16) в уравнение (15) будем иметь

т.е.

и поэтому

(17)

На основании (16) и (17) получаем частное решение

(18)

Таким образом, в силу (3) и (18) найдем общее решение неоднородного уравнения теплопроводности (15) в форме

(19)

 

а решение задачи Коши для уравнения (15), удовлетворяющее условию (2) в виде

(20)

Интегральное представление решения (20) можно найти с учетом (6)-(7) аналогично (8):

(21)

где функция Грина, определяемая равенством (9).

2. Общее решение уравнения (15) можно получить в форме (19) другим путем, поскольку уравнение (15) представимо тождеством

(22)

Тогда

т.е.

и, значит,

Замечание 3. Пусть

Задача (смешанная). Найти в области решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее начальному условию

(23)

и граничному условию

(24)

где заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

Задача (смешанная). Найти в области решение уравнения (1) из класса удовлетворяющее начальному условию

(25)

и граничным условиям

(26)

где заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

Решения задач и в операторной форме имеет вид (4), т.е.

(4)

когда (задача ) и (задача ).

Для получения интегральной формы решения задачи следует иметь ввиду, что

(27)

(28)

а для задачи

(29)

(30)

Замечание 4. Для уравнения

(31)

можно рассмотреть задачу Коши и задачи и .

Общее решение уравнения (31) в операторной форме имеет вид

(32)

где

Поэтому решение задачи Коши для уравнения (31) при начальном условии (2), в силу (6)-(7), в интегральной форме можно записать равенством (8), где

(33)

Аналогично, с учетом (27)-(28) и (29)-(30), можно найти решения соответственно задач и в областях и для уравнения (31).

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)