Доказательство. Для построения решения задачи К применим метод Фурье

Для построения решения задачи К применим метод Фурье.

Разделение переменных в уравнении (1) произведем, положив

. (4)

После отделения переменных получаются два обыкновенных дифференциальных уравнения, одно из которых с запаздывающим аргументом:

, (5)

. (6)

Общее решение уравнения (5) имеет вид

, (7)

где - произвольные действительные постоянные.

В силу предполагаемой принадлежности решения задачи Коши классу и (4), функция является функцией-оригиналом. Применим к уравнению (6) интегральное преобразование Лапласа [12].

Пусть , где - изображение по Лапласу, , а , причем - произвольные действительные постоянные.

В результате приходим к операторному уравнению

,

из которого получаем операторное решение

, (8)

Но [?, формулы 5.4.18,20], так как

, (9)

, (10)

где - функция Бесселя [9] первого рода.

Тогда по теореме о запаздывании оригинала [12] из (9)-(10) найдем

, (11)

. (12)

Следовательно,

, (13)

. (14)

На основании равенства [13, формула 2.12.4.6]

, (15)

где и того, что

, ,

можно найти другие представления для функций из (13)-(14), а именно

, (16)

, (17)

где .

Из (16)-(17) следует равенство

(18)

и

, . (19)

Таким образом, из (8) в силу (13)-(14) или (16)-(17), получаем общее решение обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (6) в виде:

. (20)

Из уравнения (6) следует, что , т.е . Поэтому, на основании (16)-(17), решение (20) следует взять в форме:

, (21)

где

, (22)

если

. (23)

Пусть

. (24)

На основании принципа суперпозиции, зная решения уравнений (5)-(6), выраженные формулами (7), (21)-(24), запишем общее решение уравнения (1) в области D в форме

, (25)

где:

, (26)

где получены при перемножении коэффициентов решений (7), (22).

Коэффициенты нужно определить так, чтобы функция (25)-(26) удовлетворяла не только уравнению (1), но и условиям (2)-(3). Для этого перейдем в равенстве (26) к пределу при и используем условие (2). Тогда получим

. (27)

Далее, дифференцируя (26) по , переходя к пределу при , используя условие (3), будем иметь

. (28)

Таким образом, учитывая вид функции , пришли к задаче разложения заданных функций и в ряд типа Фурье «по синусам».

Найдем коэффициенты разложения (27). Для этого в (27) введем подстановку

. (29)

Тогда, на основании (23) из (27) получаем интегро-разностное уравнение Вольтерра, являющееся, как легко видеть, рекуррентным соотношением для определения

, (30)

то есть

, (31)

, решение которого [?], определяется равенством

,

, (32)

причем из того, что , , следует [7] , , абсолютно интегрируемы на , так как интегралы в (32) являются интегралами Эрдейи-Кобера [8], которые есть ограниченные функции [8].

Из теории тригонометрических рядов Фурье [14] известно, что всякая функция разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд (29) Фурье «по синусам», в котором

. (33)

Равенства (33) определяют коэффициенты ряда (27).

Подобные рассуждения для ряда (28) позволяют записать его коэффициенты

, (34)

где , а определяются аналогично (32), где следует заменить на , причем и абсолютно интегрируема на .

Интегрированием по частям представим (34) в форме

. (35)

Подставляя (33), (35) в (26), получим

-

. (36)

Преобразуем (36), учитывая, что [14] каждую функцию можно представить в точках непрерывности в виде

(37)

и

. (38)

Поэтому, в силу (37)-(38)

= ; (39)

= . (40)

Учитывая (23), (39), (40) в (36), найдем

, (41)

где

, (42)

а

. (43)

Таким образом, функция (25), (41)-(43) является решением задачи Коши для уравнения (1) в области D, построенная методом Фурье.

Поиск по сайту: