Задача Коши для уравнения диффузии дробного порядка по времени. Метод Фурье

Пусть .

Уравнение

, (1)

где – оператор дробного [8] интегродифференцирования (в смысле Римана – Лиувилля), действующий на функцию по переменной t, рассмотрим в области D.

Задача К Найти в области D решение уравнения (1) такое, что удовлетворяющее начальному условию

, (2)

где ­– заданная непрерывная, достаточно гладкая функция,

причем .

Теорема 1. Однородная задача Коши (1)-(2) имеет тривиальное решение

Доказательство: В области D выполняется тождество

интегрируя которое по области применяя формулу Грина, в пределе при , получим

(3)

Второй интеграл в (3) положительно определен.

Действительно, учитывая представление дробного интеграла [8] , переставляя порядок интегрирования, будем иметь

Поэтому

Из равенства (3), в силу положительной определенности левой части следует в D, т.е в D. Но по условию и , . Значит, в . Отсюда, обращая уравнение Абеля [8],найдем в . Теорема доказана.

Теорема 2. Если , абсолютно интегрируема на и , то существует решение задачи Коши (1) – (2), такое, что и

, (4)

где – (5)

фундаментальное решение задачи Коши (1) – (2) в области D, а – функция Фокса [19, формула 8.3.1]

Доказательство. Будем искать решение задачи Коши в виде

. (6)

Подставляя (6) в (1) – (2), для определения придем к задаче

, (7)

(8)

где .

Решение задачи (7) – (8) имеет [8] вид

(9)

где – функция типа Миттаг – Лефлёра [18].

Подставляя (9) в (6), учитывая выражение для , получим

(10)

Т.к [19,формула 2.4.51.7]

и [19, формула 2.25.2.4]

то

Поэтому (10) представимо формулой (4), а равенством (5).

Непосредственно можно проверить, что полученное решение (4) принадлежит заданному классу в области D и удовлетворяет условиям теоремы.

При построенное решение (4)совпадает с решением задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Поиск по сайту: