Задача Коши для гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом. Обобщенная формула Даламбера

Пусть , где

, , .

Рассмотрим в области D уравнение:

(1)

, -функция Хевисайда.

Задача К. Найти в области D решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее начальным условиям

(2)

(3)

где -заданные непрерывные достаточно гладкие функции,причем .

Теорема. Если , , абсолютно интегрируемы на , то решение задачи К существует и единственно.

Доказательство. Решение задачи Коши (1)-(3) в области D найдено с помощью непосредственно проверяемого общего решения уравнения (1) вида

, (4)

если

Φ , (5)

где

Φ = , (6)

а

Φ = Φ - (7)

- интеграл Эрдейи-Кобера [8, c.246-247], причем Φ = Φ , , -гамма-функция[9], -произвольные, дважды непрерывно-дифференцируемые функции.

Для определения функций из (6) воспользуемся начальными условиями (2)-(3) задачи Коши. В результате получим интегро-разностные уравнения:

, (8)

где , и

Φ , (9)

= , (10)

причем

. (11)

Интегро-разностное уравнение (8) при пошаговом обращении [?, c.17-18] приводит к решению вида (11), в котором:

. (12)

Решения системы (9)-(10) можно записать в форме

( 13)

Подставляя (13) в (4)-(6), получим решение задачи Коши (1)-(3) в области D

, (14)

если

, (15)

где

, (16)

причем определяются равенствами (11)-(12).

Решение , т.к при , , , абсолютной интегрируемости на функции , , , абсолютно интегрируемы на и операторы Эрдейи-Кобера этих функций ограничены [8, c.246].

Решение (14)-(16) задачи Коши (1)-(3) единственно в силу построения и является обобщенной формулой Даламбера для дифференциально-разностного гиперболического уравнения (1).

Замечание 1. Аналогично можно найти решение в области D из класса задачи [10] Коши для уравнения

, (17)

, -функция Хевисайда, в форме

, (18)

если

, (19)

где

, (20)

причем

, (21)

когда

, (22)

а .

При этом следует воспользоваться общим решением в виде (4), где

.

Замечание 2. Аналогично можно найти решение в области D из класса задачи [11] Коши для уравнения с дифференциально-разностным оператором:

, (23)

, -функция Хевисайда, в форме:

, (24)

если

, (25)

где

, (26)

причем

, (27)

когда

, (28)

а и .

При этом следует воспользоваться общим решением в виде (4), где

.

Замечание 3. Задачу Коши для уравнений (1), (17), (23) можно рассмотреть в области

,

и в области .

Все формулы будут совпадать с выше приведенными для соответствующих уравнений за исключением того, что вместо следует ставить , т.к .

Замечание 4. В неограниченном характеристическом треугольнике можно построить решения первой и второй задач Дарбу для уравнений (1), (17), (23), используя общие решения этих уравнений, которые были приведены выше.

Замечание 5. В неограниченном характеристическом четырехугольнике можно построить решение задачи Гурса для уравнений (1), (17), (23), используя общие решения этих уравнений, которые были приведены выше.

Поиск по сайту: