Доказательство

В области имеет место тождество

0= ,

Интегрируя которое по области , применяя формулу Грина и условия теоремы, получим

.

Т.к. интеграл положительно определен и равен нулю, то в , т.е. в . Учитывая однородность граничных условий и то, что , получаем в . Теорема доказана.

Задачу разобьем на две задачи, каждая из которых имеет однородные граничные условия по одной переменной. Пусть

,

где и - решения следующих задач в прямоугольнике:

Каждую из этих задач будем называть стандартной.

Рассмотрим стандартную задачу для функции . Построим сначала решения уравнения Лапласа, представимые в виде

(4)

И удовлетворяющие однородным граничным условиям по :

(5)

Подставляя (4) в уравнения Лапласа и разделяя переменные, получим

. (6)

Отсюда получаем отдельные уравнения для и . Поскольку по переменной должны выполняться однородные граничные условия (5), для определения функции имеем однородную задачу Штурма-Лиувилля:

Решение которой имеет вид

(7)

Учитывая найденное значение , получаем из (6) уравнение для :

Общее решение этого уравнения можно записать в виде

(8)

Подставляя (7)-(8) в (4), получим систему частных решений

. (9)

Решение задачи для функции возьмем в виде разложения по системе частных решений (9):

. (10)

Подставляя (10) в граничные условия при , получаем

,

откуда видно, что - коэффициенты Фурье функции по системе собственных функций . Они вычисляются по формулам

. (11)

Подставляя (10) в граничное условие при , получим

откуда

. (12)

Неоднородная система (11)-(12) имеет единственное решение, в силу того, что определитель

, т.е.

,

(13)

,

где

,

(14)

Подставляя (13) в (10), получим

. (15)

Таким образом, решение стандартной задачи для функции дается разложением (15), коэффициенты и которого определяются формулами (14). Аналогичным образом решается задача для функции . Решение ее имеет вид

, (16)

где

. (16’)

Итак, решение задачи (1)-(3) имеет вид , где функции и определяются формулами (15), (16) соответственно.

Обсудим характер сходимости полученных рядов. В качестве примера рассмотрим разложение, полученное для решения первой стандартной задачи:

(17)

Где , а коэффициенты и , в силу (14), ограничены:

, при всех n. Поэтому общий член первого ряда при имеет следующий характер:

Отсюда видно, что во внутренних точках прямоугольника ряд сходится экспоненциально. Более того, если b/a>>1, при малых y (т.е. вблизи оснований прямоугольника y=0) уже первй член ряда имеет порядок exp(). Коэффициенты определяются функцией , заданной на другой стороне (y=b) прямоугольника. Следовательно, в этом случае влияние граничных условий,заданных при y=b, на решение при малых y невелико и при вычислении можно ограничиться одним –двумя членами ряда. Аналогичный характер имеют члены второго ряда в (17), но они малы при b/a>>1,когда у близко к b. При увеличении гладкости функций и сходимость рядов становится ещё более быстрой.

Подставляя коэффициенты , , , , из (14),(16’) в (15)-(16), учитывая равномерную сходимость рядов в (15)-(16) и, значит, возможность перестановки операций суммирования и интегрирования, получим интегральное представление решения задачи (1)-(3) в форме

(18)

где

(19)

функция Грина задачи Дирихле (1)-(3) для прямоугольника ( ).

Например

Последнее выражение совпадает со вторым слагаемым в (15), если туда поставить коэффициенты из (14). Аналогично можно получить выражения для других слагаемых в (18), которые будут совпадать с выражениями рядов в (15)-(16) с учетом коэффициентов из (14), (16’).

Поиск по сайту: