Интегро-дифференциально-разностные уравнения Вольтера и интегральные преобразования

При исследовании начально-краевых задач [10,11] для дифференциально-разностных уравнений

, (1)

где L – оператор гиперболического типа, , приходится иметь дело с интегральным преобразованием

, (2)

в котором ядро

, (3)

а имеет вид:

1) в случае

; (4)

2) в случае

; (5)

3) в случае

, (6)

где и - соответственно функция Бесселя первого рода [9, c.965-966] и Хевисайда [15, c.283].

Доказана

Теорема. Если - непрерывна на всюду (кроме, быть может, конечного числа точек), абсолютно интегрируема на , то преобразование (2) с ядром (3) существует и является ограниченной непрерывной на функцией, исчезающей на бесконечности. Кроме того, если кусочно-дифференцируема на , то справедлива классическая формула обращения [12, c. 16], двойственная с преобразованием

, (7)

где а

, (8)

если

* * , (9)

является решением интегро-дифференциально-разностного уравнения Вольтерра

* , (10)

причем, в случае ядра (4) в (9)-(10) следует положить , а в случае ядра (5) в (9)-(10) следует взять .

Найдем решение уравнения (10) относительно в случае j=0, то есть уравнения

(11)

в форме (8)-(9).

Из (11) при имеем и потому

, . (12)

Далее, пусть . Так как , то из (11) найдем

. (13)

Пусть в (11). Тогда в случае и, значит, определяется из (12). Если же m=1, то . Поэтому возможны два случая:

а) и, значит, имеет вид (12);

б) и следует взять в форме (13).

В результате получим

Повторяя подобные рассуждения, на к-ом шаге, то есть при , придем к равенству (9) (j=0), то есть

. (14)

Аналогично можно найти решения (9) уравнения (10) в остальных случаях. Равенство (14) можно записать в виде

, (15)

где - интеграл Эрдейи-Кобера [8,ст.246-247], причем , .

Так как операторы Эрдейи-Кобера ограничены [8,с.246], то из (8), (15) обладает свойствами функции g(x), указанными в теореме.

Поиск по сайту: