ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

Початковий капітал особи, що приймає рішення становить 4 грн. Функція корисності грошей для цієї особи U(Х)=√Х. Особі пропонують лотерею, у якій можна виграти 12 грн. з імовірністю 0,5 або нічого не виграти (тобто нейтральний результат у 0 грн.) також з імовірністю 0,5. Чи слід особі приймати участь у лотереї?

Розв’язання.

Корисність 4 грн. для особи, що приймає рішення становить U(4)=√4=2 (грн.).

Корисність капіталу особи після виграшу 12 грн. становить U(4+12)=√16=4 (грн.)

Після виграшу у 0 грн. корисність становитиме U(4+0)=√4=2 (грн.).

Середня очікувана корисність дорівнює 0,5*4+0,5*2=2+1=3 (грн.). Це більш ніж початкова сума капіталу, отже особі слід прийняти участь у лотереї.

Задача №2.

Особа, що має функцію корисності U(х)=0,01х². Вона має три альтернативні варіанти вибору нового місця роботи. Перше місце роботи пов’язане зі стабільним прибутком у 2 грн. Друге місце роботи пов’язане з ризиком: або мати прибуток у 3 грн. з імовірністю 0,5 або прибуток у 1 грн з імовірністю 0,5. Третє місце роботи також пов’язане з ризиком мати 4 грн. з імовірністю 0,5 або не мати жодного доходу.

Яке місце роботи обрати цій особі?

Розв’язання.

Оцінка корисності доходу за першим місцем роботи.

Корисність стабільного прибутку за першим місцем роботи становить U(2)=0,01*2²=0,01*4=0,04 (грн.)

Оцінка корисності доходу за другим місцем роботи.

Корисність доходу у 3 грн. становить U(3)=0,01*3²=0,01*9=0,09 (грн.)

Корисність доходу у 1 грн. становить U(1)=0,01*1²=0,01 (грн.)

Середня очікувана корисність доходу від другого місця роботи дорівнює

0,5*0,09+0,5*0,01=0,05 (грн.)

Оцінка корисності доходу за третім місцем роботи.

Корисність доходу у 4 грн. становить U(4)=0,01*4²=0,16 (грн.)

Корисність доходу у 0 грн становить U(0)=0,01*0²=0 (грн.)

Середня очікувана корисність доходу від третього місця роботи дорівнює

0,5*0,16+0,5*0=0,08 (грн.)

Таким чином найбільший очікуваний дохід особа отримає за третім місцем роботи.

Задача №3.

Споживання матеріального ресурсу на підприємстві за добу становить 300 тонн. З постачальником укладено угоду про надходження матеріалу на підприємство рівними партіями через кожні 17 діб (тобто 21 раз на рік).

За попередні півроку були зафіксовані певні відхилення від встановленої величини (17 діб).

Визначити мінімальний запас матеріалів, який дозволить підприємству в таких умовах уникнути зриву виробництва.

Розв’язання.

В таблиці представлено обчислення дисперсії випадкової величини (тривалості інтервалу поставки), тобто міру розсіяння випадкової величини навколо її математичного сподівання (встановленої величини інтервалу поставки).

Таким чином дисперсія тривалості інтервалу поставки становить 13.

Стандартного відхилення випадкової величини від її математичного сподівання обчислюється так:

Де Д – дисперсія, n – кількість спостережень відхилень випадкової величини.

Таким чином, щоб підприємство працювало без зривів, обсяг мінімального запасу матеріалів повинен становити:

З=300*1,4=342 тонни.

Задача 4.

Продавець фруктів скуповує малину у селян по 15 грн за кошик і продає у місті за 25 грн. Протягом кожного з 40 днів “малинового сезону” він продавав різну кількість кошиків. Це обумовлено випадковістю попиту на цей товар. Торговець помітив, що попит обсягом 4 кошики спостерігався 4 дні, 5 кошиків – 8 днів, 6 – 16 днів, 7 – 10, 8 – 2 дні.

Визначити оптимальну кількість товару, яку необхідно закуповувати продавцю, щоб в заданих умовах попиту на товар він отримав максимальні прибутки.

Розв’язання.

Кращим рішенням вважається таке, що забезпечує найбільше значення математичного сподівання випадкової величини.

Варіантами рішень будуть обсяги кількості кошиків малини, які слід одноразово закуповувати продавцю у селян. Економічне середовище характеризується попитом на малину. Зрозуміло, що продавцю недоцільно закуповувати менше, ніж 4 кошики та більше, ніж 8 кошиків.

У таблиці подано фінансові результати продавця (прибуток), який він матиме за різними варіантами його можливих рішень та стану попиту.

Дані в цій таблиці можна інтерпретувати так: якщо продавець малини закупить 7 кошиків, а попит на малину складе тільки 5 кошиків, він отримає тільки 20 грн. Найбільший прибуток при цьому він зможе отримати у випадку, коли попит на малину також буде 7 кошиків. На максимальний прибуток він зможе розраховувати тільки закупивши 8 кошиків при стані попиту у 8 кошиків. Однак у цьому випадку при інших станах попиту – 5, 6, 7 кошиків – він отримає прибуток тільки у розмірах 5, 30, 55 грн. Якщо попит буде тільки у 4 кошики він зазнає збитків, оскільки половина товару буде непроданою.

За даними частоти настання потягом 40 днів “малинового сезону” різних варіантів попиту на малину обчислимо імовірність їх настання:

p₁(Q1)=4/40=0,1;

p₂(Q2)=8/40=0,2;

p₃(Q3)=16/40=0,4;

p₄(Q4)=10/40=0,25;

p₅(Q5)=2/40=0,05.

Найбільш імовірний прибуток продавця від прийнятого рішення можна обчислити як математичне сподівання випадкової величини (його фінансових результатів) (М(Х)) за формулою:

р_і – імовірність настання і-тої події (отримання і -го варіанту фінансового результату);

Х_і – значення і -го варіанту випадкової події (фінансового результату продавця).

Обчислимо прибуток продавця, якщо він прийме рішення закупити тільки 4 кошики:

М(4)= 0,1*40+0,2*40+0,4*40+0,25*40+0,05*40=40 (грн.)

Обчислимо прибуток продавця, якщо він прийме рішення закупити тільки 5 кошиків:

М(5)= 0,1*25+0,2*50+0,4*50+0,25*50+0,05*50=47,5 (грн.)

Обчислимо прибуток продавця, якщо він прийме рішення закупити тільки 6 кошиків:

М(6)= 0,1*10+ 0,2*35+0,4*60+0,25*60+0,05*60=50 (грн.)

Обчислимо прибуток продавця, якщо він прийме рішення закупити тільки 7 кошиків:

М(7)= 0,1*(-5)+0,2*20+0,4*45+0,25*70+0,05*70=42,5 (грн.)

Обчислимо прибуток продавця, якщо він прийме рішення закупити тільки 8 кошиків:

М(8)= 0,1*(-20)+0,2*5+0,4*30+0,25*55+0,05*80=28,75 (грн.)

Таким чином, за даних умов попиту на малину продавцю слід закуповувати 6 кошиків малини. Таке рішення забезпечить отримання ним максимально можливого прибутку за даних умов попиту на малину – 50 грн.

Приклад 5.

Обчислити ступінь ризику двох акцій А і Б. Для кожної з них можлива величина норми прибутку залежить від стану економіки. Експерти очікують п'ять можливих станів економіки та оцінюють імовірності їх настання. Дані наведені в таблиці.

Обчислити ступінь ризику кожної акції і визначити найбільш та найменш ризикові акції.

Рішення.

Обчислимо математичне сподівання випадкової величини (найбільш імовірне очікуване значення норми прибутку) за формулою:

р_і – імовірність настання і-тої події (настання і -го варіанту економічного середовища);

Х_і – значення і -го варіанту випадкової події (норми прибутку акції).

Для акції А маємо:

М(А)=0,1*20+0,3*10+0,2*2+0,3*(-2)+0,1*(-10)=3,8 (%)

Для акції Б маємо:

М(Б)=0,1*10+0,3*5+0,2*2+0,3*1+0,1*(-5)=2,7(%)

Для визначення ступеня ризику необхідно обчислити дисперсію випадкової величини (норми прибутку акції) за формулою:

Дисперсія обчислюється за формулою:

р_і – імовірність настання і-тої події (настання і -го варіанту економічного середовища);

Х_і – значення і -го варіанту випадкової події (норми прибутку акції).

Д=0,1*(20-3,8)²+0,3*(10-3,8)²+0,2*(2-3,8)²+0,3*(-2-3,8)²+0,1*(-10-3,8)²=67,56;

Д=0,1*(100-2,7)²+0,3*(5-2,7)²+0,2*(2-2,7)²+0,3*(1-2,7)²+0,1*(-5-2,7)²=13,81

Ступінь ризику акцій визначає показник стандартного середньоквадратичного відхилення:

σ(А)=√67,56=8,22 (%)

σ(Б)=√13,81=3,72 (%)

Ступінь ризику акції Б менший, ніж ступінь ризику акції А.

Акція Б має менший ступінь ризику, оскільки найбільш імовірне відхилення можливої норми прибутку за цією акцією від сподіваної величини (2,7%) становить 3,72%.

Приклад 6.

Протягом п'яти минулих періодів фінансовий дилер спостерігав за дохідністю акцій А, Б та В. Результати спостережень наведені в таблиці.

Визначте ступінь ризику кожної з цих акцій та визначте акцію, що забезпечує найменший ризик.

Рішення.

Обчислимо математичне сподівання (найбільш імовірне значення норми прибутку за акціями) за формулою:

де Хі – значення випадкової величини у і-тому випадку;

n – кількість спостережень випадкової величини.

Для акції А

М(А)= (12+10+8+4+6)/5= 8 (%)

Для акції Б

М(Б)= (18+14+10+6+2)/5= 10 (%)

Дисперсія для акції А:

Д(А)=(Σ(Х-М(Х))²)/n= ((12-8)²+(10-8)²+(8-8)²+(4-8)²+(6-8)²)/5=8

Д(Б)=32

Середньоквадратичне відхилення

Акція А:

σ =√Д=√8=2,83

Акція Б:

σ =√Д=√32=5,66

Найменш ризиковою є акція А, оскільки значення середньоквадратичного відхилення сподіваних від неї прибутків є найменшим.

Приклад 7.

Капітал інвестора становить 100 тис. гр. од. З них 25 тис. гр. од. він вклав у безризикові цінні папери, річна норма прибутку від яких становить 30 %. Решту грошей він збирається вкласти у папери, обтяжені ризиком. Стандартне середньоквадратичне відхилення дохідності (ризик) цих паперів складає 10%. Інвестор прагне забезпечити ступінь ризику свого банкрутства в результаті операцій з цінними паперами на рівні не більш як 1/9.

Якою повинна бути сподівана норма прибутку, обтяженого ризиком цінних паперів, аби інвестор уникнув банкрутства?

Рішення.

Задачу можна вирішити шляхом застосування оцінки ризику банкрутства за Чебишевим згідно формули:

,

де m – необхідна норма прибутку цінних паперів, обтяжених ризиком, яка дозволить уникнути банкрутства;

х₀ – частка коштів, вкладених у безризикові цінні папери;

r₀ – норма прибутку без ризикових цінних паперів, %;

σ – середньоквадратичне відхилення (ризик) норми прибутку.

Відповідно маємо:

r₀ = 30% або 0,3; х₀=25/100=0,25; σ=10% або 0,1

m>-((1+0,25*0,3)/(1-0,25))+3*0,1=-1,133 (-113,3%)

Таким чином, сподівана норма доходу цінних паперів, що обтяжені ризиком, повинна бути не меншою ніж 113,3%.

Приклад 8.

Інвестор планує сформувати портфель цінних паперів з двох видів акцій: А і Б.

Сподівана норма прибутку від акцій виду А становить 60 %, ризик цих акцій (середньоквадратичне відхилення) — 20 %. Для акцій виду Б відповідно сподівана норма прибутку — 40 %, ризик — 15 %. Коефіцієнт кореляції для цих акцій ρ_αβ ⁼ 0,35.

1. Визначте сподівану норму прибутку та ризик портфеля цінних паперів, якщо акції виду А складають 20 % вартості цього портфеля.

2. Визначте сподівану норму прибутку та ризик портфеля цінних паперів, якщо акції виду А складають 80 % вартості портфеля.

3. Сформуйте портфель цінних паперів, який забезпечує мінімальний ризик.

Рішення.

1) Згідно з умовою частка акцій виду А в портфелі цінних паперів х₁=0,2, а тому частка акцій виду Б – х₂=0,8.

Найбільш імовірна норма прибутку такого портфеля становить:

m_П=x₁*m₁+x₂*m₂=0,2*60+0,8*40=44%

Ступінь ризику портфеля обчислимо так:

2) Частка акцій А становить 80%, тобто х₁=0,8, а частка акцій Б –20%, х₂=0,2. Математичне сподівання норми прибутку такого портфеля цінних паперів становить:

m_П=x₁*m₁+x₂*m₂=0,8*60+0,2*40=56%

Ступінь ризику портфеля становитиме:

3. Перевіримо можливість формування портфелю з мінімальним ризиком:

; ρ₁₂=0,35<15/20=0,75. Це означає, що такий портфель можна сформувати.

Визначимо частку акцій А у такому портфелі за формулою:

.

Частка акцій Б у портфелі з мінімальним ризиком становить х₂=1-х₁=1-0,29=0,71.

Математичне сподівання норми прибутку такого портфеля становить:

m_П=x₁*m₁+x₂*m₂=0,29*60+0,71*40=45,8 (%)

Ступінь ризику сформованого портфеля:

Таким чином, сформований портфель матиме очікувану норму прибутку 45,8%, а ступінь його ризику становитиме 13,79%.

Поиск по сайту: