|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тригонометрическая форма комплексного числаКомплексный анализ. Формы комплексного числа
Операции над комплексными числами
Обозначение:
Комплексным числом называется величина , где х и у действительные числа, называемые действительной и мнимой частями числа , - мнимая единица, . Таким образом, Суммой комплексных чисел и наз.к.ч. , равное
Произведением действительного числа на комплексное число наз.величина , равная Разность комплексных чисел и равна Пример 1.
Произведение комплексных чисел и находится по правилу . Таким образом, .
Пример 2.
Пример 3. Пример 4. Пример 5. Пример 6. Число называется сопряженным к комплексному числу . Имеем
Частным и называется число , для которого . Частное обозначается . Вычисляется по правилу: Таким образом,
Пример 7.
Пример 8. Пример 9. Тригонометрическая форма комплексного числа Комплексное число можно представить в виде упорядоченной пары -радиус- вектор на комплексной плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . При этом радиус-вектор или комплексное число характеризуется модулем или длиной вектора = , с углом наклона к оси абсцисс. Будем называть главным значением аргумента или аргументом, если . Обозначается . При этом положителен, если он отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, и отрицателен, если наоборот. Ясно, что . Отсюда получаем тригонометрическую форму комплексного числа :
Используя разложение функций и в ряды Тейлора, можно показать, что (формула Эйлера) Если заданы и , то аргумент находится следующим образом: Точка z лежит в первой четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит во второй четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в третьей четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в четвертой четверти комплексной плоскости, . Тогда . Рассмотрим частные случаи: Если , точка лежит на оси справа от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси выше начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси слева от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси ниже начала координат, тогда . Если, , точка лежит в четвертой четверти, . Если , точка лежит в первой четверти, . Если , точка лежит во второй четверти, . Если , точка лежит в четвертой четверти, . Если , точка лежит в третьей четверти, . Можно показать, что, если , , то
,
в частности, если умножим число само на себя раз, получим формулу Муавра
Пример 10. Записать в тригонометрической форме числа 1) ; 2) Решение. 1) . Отсюда 2) . Отсюда В следующих двух примерах применим формулу Муавра. Пример 11. Найти Решение. Пример 12. Найти Решение. Имеем
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.) |