Вероятность каждой суммы при бросании пары костей

В триктрак, другой игре, в которой игроки бросают две кости, числа на каждой кости могут или складываться, или рассматри­ваться порознь. Это значит, что, если, например, брошены две кос­ти, 5 может получиться пятнадцатью разными путями:

5 + 1

5 + 2

5 + 3

5 + 4

5 + 5

5 + 6

1 + 5

2 + 5

3 + 5

4 + 5

6 + 5
1+4
4 + 1

2 + 3

3 + 2

Вероятность выбросить пятерку равна ¹⁵/з6> или 42%¹⁵.

Здесь важна семантика. По определению Кардано, вероятность некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Шансы (odds) некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к числу неблагопри­ятных исходов. Шансы, разумеется, зависят от вероятности, и их удобнее использовать при заключении пари.

Если вероятность выбросить пятерку в триктрак равна 15 удач­ным броскам на каждые 36 бросков, то шансы выбросить пятерку равны отношению 15 к 21. Если вероятность выбросить 7 в крепсе равна одному удачному на каждые шесть бросков, то шансы выбро­сить число, отличное от 7, равны 5 к 1. Это значит, что вы должны ставить не более одного доллара за то, что в следующем броске выпа­дет 7, если ваш партнер поставил 5 долларов против. При подбрасы­вании монеты орел выпадает с вероятностью один к двум. Поскольку шансы выбросить орел и решку равны, никогда не ставьте больше, чем ваш партнер по игре. Если шансы в заезде на бегах оцениваются как 1 к 20, теоретическая вероятность того, что ваша кляча победит, оценивается как 1 из 21, или 4,8%, т. е. менее 5%.

Мы никогда не узнаем, писал ли Кардано «Liber de Ludo Aleae» как учебник для игроков или как теоретический труд по теории вероятностей. Учитывая место игры в его жизни, правила игры могли послужить только поводом для этой работы, но мы не берем­ся с уверенностью это утверждать. Игра — идеальная лаборатория для проведения экспериментов по квантификации риска. Необык­новенная интеллектуальная любознательность Кардано и набор ма­тематических принципов, которые он имел смелость охватить в «Ars Magna», позволяют предположить, что он мог искать нечто большее, чем путь к выигрышу за игорным столом.

Кардано начал «Liber de Ludo Aleae» в духе экспериментально­го исследования, а закончил созданием теоретических основ ком­бинаторики. Более того, оригинальные взгляды на роль вероятнос­ти в случайных играх, не говоря уже о математических средствах, примененных Кардано для решения поставленных задач, позволя­ют считать «Liber de Ludo Aleae» первой в истории попыткой из­мерения риска. Именно благодаря блестящим достижениям Карда­но возникла сама идея и возможность управления риском. Каковы бы ни были мотивы написания книги, она стала выдающимся про­изведением, полным оригинальности и математической смелости.

Но главным героем этой истории является не Кардано, а время, в которое он жил. Возможность открыть то, что открыл он, суще­ствовала тысячи лет. И индо-арабская система счисления достигла Европы по меньшей мере за триста лет до написания «Liber de Ludo Aleae». He хватало свободы мысли, страсти к эксперименту и стремления взять под контроль будущее, которые были пробужде­ны Ренессансом.

Последним великим итальянцем, бившимся над проблемами ве­роятности, был Галилео, родившийся, как и Шекспир, в 1564 году, когда Кардано уже состарился¹⁶. Подобно очень многим своим со­временникам, Галилео обожал экспериментировать и не упускал ни одного повода использовать для эксперимента все, что попадалось ему на глаза. Даже собственный пульс он использовал для измере­ния времени.

Однажды в 1583 году во время службы в Пизанском кафед­ральном соборе Галилео обратил внимание на лампу, свисавшую с потолка. Порывы сквозняка раскачивали ее то сильнее, то сла­бее. Он заметил, что все колебания совершались за один и тот же промежуток времени независимо от величины амплитуды. Резуль­татом этого случайного наблюдения стало использование маятника для производства часов. За тридцать лет среднесуточная ошибка таких часов была снижена с пятнадцати минут до десяти секунд и менее. Это был союз времени и технологии. Таков был стиль жиз­ни Галилео.

Около сорока лет спустя, уже будучи Первым и Экстраординар­ным Математиком Пизанского университета и Математиком Его светлости Козимо II, Великого герцога Тосканского, он написал короткое эссе об игре, «чтобы угодить ему, приказавшему описать, что мне пришло в голову об этой проблеме»¹⁷. Эссе называлось «Sopra le Scoperte del Dadi» («Об игре в кости»). Использование итальянского вместо латыни указывает на то, что Галилео не слишком уважал тему своей работы и считал ее не стоящей серь­езного обсуждения. Создается впечатление, что он без энтузиазма работал над очередным малопрестижным заданием, полученным от хозяина, Великого герцога, пожелавшего увеличить свои шансы за игорным столом.

При написании этого эссе Галилео удалось использовать работу Кардано, хотя до ее публикации оставалось еще сорок лет. Фло­ренс Найтингейл Давид (David), историк и статистик, предполо­жил, что Кардано так долго размышлял над этими проблемами, что непременно должен был обсуждать их с друзьями. Более того, он был популярным лектором. Так что математики имели возмож­ность хорошо познакомиться с содержанием «Liber de Ludo Aleae», даже не читая саму книгу¹⁸.

Подобно Кардано, Галилео занялся анализом результатов, по­лучаемых при бросании одной или нескольких костей, описал об­щие выводы о частоте различных комбинаций и типы исходов. Между прочим, он утверждал, что использовал методологию, до­ступную любому математику. В частности, основанная на понятии случайности концепция вероятности настолько прочно утвердилась к 1623 году, что Галилео полагал, что он здесь мало что способен добавить.

Однако еще оставалось широкое поле для открытий. Идеи о ве­роятности и риске развивались быстрыми темпами, а интерес к этим проблемам через Францию распространился на Швейцарию, Германию и Англию.

Франция, например, в течение XVII и XVIII веков испытала на­стоящий математический бум, герои которого пошли значительно дальше экспериментов Кардано с бросанием костей. Успехи вычис­лительных методов и алгебры привели к бурному развитию абст­рактных математических понятий и обеспечили обоснование мно­гих практических приложений вероятности — от страхования и инвестирования до таких, казалось бы, далеких от математики предметов, как медицина, наследственность, поведение молекул, стратегия и тактика военных действий и предсказание погоды.

Первым шагом была разработка измерительных методов, при­годных для определения степени упорядоченности, которая может скрываться в неопределенном будущем. Попытки разработать такие методы впервые были предприняты еще в XVII веке. В 1619 году, например, пуританский священник Томас Гатакер опубликовал на­шумевшую работу «О природе и использовании жребия» («Of the Nature and Use of Lots»), в которой утверждал, что исход случайных игр определяет не Бог, а закон природы вещей, или естественный закон¹⁹. К концу XVII века, спустя почти сто лет после смерти Кар-дано и менее чем через пятьдесят лет после смерти Галилео, были решены важные проблемы теории вероятностей. Следующим шагом было решение вопроса о том, как люди осознают вероятности и реа­гируют на них в реальной жизни. Этим в конечном счете и занима­ются теории управления риском и принятия решений, и здесь ба­ланс между объективными данными и волевыми качествами при­обретает решающее значение.

Глава 4

Французские знакомства

Ни Кардано, ни Галилео не заметили, что они вплотную по­дошли к формулировке законов вероятности, являющихся главным орудием управления риском. Кардано сделал на основе своих экспериментов ряд весьма важных обобщений, но ин­тересовала его не столько теория вероятностей, сколько оптимиза­ция игры, а Галилео даже теория игры не особо интересовала.

Галилео умер в 1654 году. Двенадцать лет спустя три француза осуществили наконец гигантский прорыв в таинственный мир нео­пределенности, и затем меньше чем за десять лет рудиментарная идея превратилась в хорошо разработанную теорию, расчистившую путь замечательным практическим достижениям. Голландец Гюй­генс в 1657 году опубликовал ставший очень популярным учебник по теории вероятностей (который в 1664 году внимательно прочел и отметил Ньютон); примерно в это же время Лейбниц размышлял над возможностью применения теории вероятностей к решению юридических проблем; а в 1662 году монахи парижского монастыря Пор-Рояль выпустили новаторскую работу по философии и вероят­ности под названием «La logique» («Логика»). В 1660 году англи­чанин Джон Грант опубликовал результаты своего анализа демо­графических данных на основе статистики смертности, взятой им из записей в церковноприходских регистрационных книгах. К кон­цу 1660 года в голландских городах, традиционно финансировавших городские нужды за счет продажи пожизненной ренты, на этой ос­нове была создана действенная система страхования. К 1700 году, как мы уже отмечали ранее, и английское правительство стало по­крывать свой бюджетный дефицит за счет продажи полисов по­жизненной ренты.

А началось все со странной троицы французов, которые, глядя на игровой стол, заложили теоретические основы измерения веро­ятности. Одним из них был Блез Паскаль, блистательный молодой повеса, который стал впоследствии религиозным фанатиком и кон­чил полным отрицанием ценности разума. Другой, Пьер Ферма, преуспевающий адвокат, для которого математика была побочным занятием. Третьим был аристократ шевалье де Мере, совмещавший свое увлечение математикой с неудержимой страстью к азартным играм; он вошел в историю тем, что сформулировал задачу, ре­шение которой привело двух остальных на тропу открытий.

Ни молодой повеса, ни адвокат не нуждались в экспериментах для подтверждения своих гипотез. В отличие от Кардано они с пер­вых шагов работы над теорией вероятностей пользовались индук­тивным методом. Теория позволила измерять вероятности в чис­ленном виде и отказаться от принятия решений на основе субъек­тивных мнений.

Склонный к философствованию знаменитый математик Пас­каль родился в 1623 году, когда Галилей заканчивал эссе «Об игре в кости». Рожденный во время религиозных войн XVII столетия, он провел полжизни в метаниях между блистательной математи­ческой карьерой и уходом в религиозную экзальтацию, по суще­ству своему антиинтеллектуальную. Хотя он был замечательным математиком и гордился своими достижениями как «мастера гео­метрии», самой сильной страстью его жизни оказались в конечном итоге религиозные переживания¹.

Паскаль начинал жизнь как вундеркинд. Очарованный форма­ми и фигурами мальчик самостоятельно доказал большинство тео­рем евклидовой геометрии, заполняя геометрическими построени­ями плитки пола детской комнаты. В возрасте 16 лет он написал работу, посвященную коническим сечениям, поразившую великого Декарта.

Увлечение маленького Блеза математикой сослужило хорошую службу его отцу, который тоже был в своем роде математиком и вел обеспеченную жизнь в качестве сборщика, а если говорить точнее, откупщика налогов. Откупщик налогов ссужал деньгами монарха, подобно фермеру, засевающему поле, — и затем собирал деньги с населения, как тот же фермер собирает жатву, в надежде собрать больше, чем посеял.

Когда Паскаль был еще совсем мальчишкой, он изобрел и за­патентовал счетную машину для облегчения скучной работы М. Паскаля по ежедневному подведению баланса. Это хитроумное механическое устройство с приводами и колесами, которые вра­щались взад-вперед, складывая и вычитая, было предшественни­ком современных электронных калькуляторов. Юный Паскаль выполнял на своей машине также умножение и деление и даже начал разрабатывать конструкцию для извлечения квадратных корней. К сожалению, в течение последующих 250 лет клерки и бухгалтеры не могли использовать эту машину из-за очень высо­кой стоимости.

Заметив гениальные способности своего сына, отец Блеза, когда тому исполнилось четырнадцать лет, ввел его в избранный кружок, еженедельно собиравшийся для дискуссий в доме иезуитского свя­щенника по имени Марен Мерсенн, расположенном недалеко от Королевской площади в Париже. В первой половине XVII века дом аббата Мерсенна был центром мировой науки и математики. Не до­вольствуясь организацией еженедельных дискуссий с участием крупнейших ученых, аббат своим неровным почерком вел обшир­нейшую переписку с учеными всей Европы, сообщая всем и каж­дому обо всем, что было нового и интересного².

В отсутствие ученых обществ, профессиональных журналов и других средств обмена идеями и информацией Мерсенн внес цен­ный вклад в развитие и распространение новых научных теорий. Парижская Академия наук и Лондонское Королевское общество, основанные лет через двадцать после его смерти, были прямыми наследниками его кружка.

Хотя ранние работы Блеза Паскаля по геометрии и алгебре произвели большое впечатление на сильных математиков, которых он встретил в кружке Мерсенна, у него скоро возникли прямо про­тивоположные интересы. В 1646 году старший Паскаль поскольз­нулся на льду и сломал бедро; костоправы, приглашенные ухажи­вать за ним, оказались членами ордена янсенистов. Эти люди ве­рили, что единственный путь к спасению лежит через аскетизм, жертвенность, смирение и самоограничение. Они проповедовали, что человек, который не стремится неустанно ко все более высо­кому духовному очищению, неминуемо скатится в бездну греха. Утверждая примат чувства и веры, они третировали разум, считая его помехой на пути к искуплению.

Залечив бедро Паскаля-отца, янсенисты в течение трех месяцев обрабатывали душу Паскаля-сына, который с энтузиазмом воспри­нял их доктрину. Теперь он избегал и математики, и других наук, и всех развлечений своей прежней парижской жизни. Религия по­глотила его целиком. Объясняя свое состояние, он смог только сказать: «Кто поместил меня сюда? По чьему повелению и предпи­санию это место и это время предназначены мне? Вечная тишина этого бесконечного пространства приводит меня в ужас»³.

Ужас неожиданно поразил его и с другой стороны. В 1650 году в возрасте 27 лет он стал жертвой частичного паралича, его пре­следовали страшные головные боли, и было трудно глотать пищу. В качестве лечения доктора предписали ему встряхнуться и вер­нуться к прежней рассеянной жизни. Не теряя времени, Паскаль последовал их советам. После смерти отца он сказал своей сестре: «Не будем горевать, подобно язычникам, не имеющим надежды»⁴. Он встряхнулся настолько, что даже превзошел свой прежний раз­гульный образ жизни, и стал постоянным посетителем парижских игорных домов.

Вернувшись к мирской суете, Паскаль возобновил свои иссле­дования, касающиеся математики и смежных дисциплин. В одном из экспериментов он, вопреки господствовавшему еще со времен Аристотеля мнению, будто природа боится пустоты, доказал суще­ствование вакуума. В ходе этого эксперимента он продемонстриро­вал, что атмосферное давление может быть измерено на разных высотах с помощью ртути, заключенной в трубку, из которой вы­качан воздух.

Примерно в это же время состоялось знакомство Паскаля с ше­валье де Мере, который гордился своими математическими способ­ностями и умением просчитывать шансы в казино. Как-то в конце 1650 года в письме к Паскалю он хвастал: «Я открыл в математике вещи весьма необычные, о которых лучшие ученые прежних времен никогда не помышляли и которыми были поражены лучшие мате­матики Европы»⁵.

Кажется, он сумел произвести впечатление на самого Лейбница, отозвавшегося о шевалье как о «человеке острого ума, который был одновременно игроком и философом». Правда, в другой раз Лейбниц заметил: «Я почти смеялся над важничаньем шевалье де Мере в его письме к Паскалю»⁶.

Паскаль согласился с Лейбницем. «У месье де Мере, — писал он своему коллеге, — хорошая голова, но он не геометр, а это, са­ми понимаете, большой недостаток»⁷. Здесь Паскаль высказался как профессионал, которому приятно уколоть дилетанта. Во вся­ком случае, он не особенно высоко ставил математические дости­жения шевалье⁸.

Однако именно от Паскаля мы узнаём об интуитивном понима­нии вероятности, которым обладал де Мере. Играя, он ставил вновь и вновь на комбинации, приносившие ему небольшие выигрыши, которые его противники считали чисто случайными. Согласно Пас­калю, он знал, что если метнуть одну кость четыре раза, то вероят­ность увидеть шестерку превысит 50%, а точнее — 51,77469136%. Его стратегия заключалась в том, чтобы выигрывать помалу при большом числе бросков, избегая делать редкие крупные ставки. Эта стратегия требовала много денег, потому что шестерка могла довольно долго не выпадать и приходилось удлинять серию бросков, дожида­ясь, пока средний процент появления шестерки превысит 50% ⁹.

Де Мере пытался варьировать свою систему, ставя на то, что sonnez, или дубль-шесть, в 24 бросках двух костей должен выпа­дать с вероятностью, большей 50%. На этом он потерял довольно много денег, пока не выяснилось, что эта вероятность при 24 брос­ках составляет только 49,14%. Если бы он ставил на 25 бросков, при которых вероятность дубль-шесть составляет 50,55%, он мог бы разбогатеть. История освоения стратегии риска окрашена не только в красный цвет, но и в черный.

До встречи с Паскалем шевалье неоднократно обсуждал со мно­гими французскими математиками задачу об очках — как два иг­рока в balla должны разделить банк в случае прекращения нео­конченной игры, однако никто не смог дать ему вразумительный ответ.

Хотя эта задача заинтересовала Паскаля, он не захотел решать ее самостоятельно. В наши дни такая проблема стала бы темой об­суждения для группы специалистов на ежегодном семинаре одного из научных обществ. Во времена Паскаля такой форум был невоз­можен. В лучшем случае небольшая компания ученых могла обсу­дить проблему в интимной обстановке гостиной аббата Мерсенна, но обычно в таких ситуациях прибегали к личной переписке с другими математиками, которые могли подсказать что-либо полезное для решения задачи. В 1654 году Паскаль обратился к Пьеру де Кар-кави, члену кружка аббата Мерсенна, который свел его с тулузским адвокатом Пьером де Ферма.

Вряд ли Паскаль мог найти лучшего партнера для решения этой задачи. Ферма был феноменально образованным человеком¹⁰. Он говорил на всех основных европейских языках, на некоторых из них даже писал стихи и составлял обширные комментарии к греческим и римским авторам. Кроме того, он обладал редкостным талан­том математика. Независимо от Декарта он изобрел аналитическую геометрию, внес большой вклад в раннее развитие численных мето­дов, проводил исследования, направленные на определение веса Земли, изучал оптические явления, в частности рефракцию свето­вых волн. В ходе оказавшейся весьма продолжительной переписки с Паскалем он внес значительный вклад в теорию вероятностей.

Но коронные достижения Ферма относятся к теории чисел — анализу структурных соотношений каждого числа с остальными. Эти соотношения порождают бесчисленные головоломки, некоторые из которых не нашли решения и по сей день. Греки, например, об­наружили то, что они назвали совершенными числами, — это числа, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением их са­мих, подобные 6 = 1 + 2 + 3. Следующее после 6 совершенное чис­ло 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Третье такое число — это 496, следую­щее — 8128. Пятое совершенное число — 33 550336.

Пифагор открыл то, что он называл дружественными числами или «вторыми я» чисел, представляющие собой суммы всех дели­телей, отличных от самого числа. Все делители числа 284, то есть 1, 2, 4, 71 и 142, в сумме дают 220; все делители числа 220, то есть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, в сумме дают 284.

Никому не удалось установить правила для нахождения всех существующих совершенных чисел или всех дружественных чисел, как никто не сумел вывести формулы рядов, в которых они следу­ют друг за другом. С аналогичными трудностями мы сталкиваемся при рассмотрении простых чисел, подобных 1, 3 или 29, каждое из которых делится только на 1 и на самого себя. С одной стороны, Ферма считал, что он получил формулу вычисления простых чи­сел, но, с другой стороны, он предупреждал, что не смог теорети­чески доказать ее всеобщность. Формула, которую ему удалось найти, выдает 5, затем 17, затем 257 и, наконец, 65 537 — всё простые числа, а следующим числом, получаемым на основе его формулы, оказывается 4 294 967 297.

По-видимому, наибольшую славу Ферма принесло нацарапанное на полях «Арифметики» Диофанта утверждение, известное как ве­ликая теорема Ферма. Несмотря на трудность его доказательства, суть этого утверждения изложить несложно.

Греческий математик Пифагор впервые показал, что квадрат наи­большей стороны прямоугольного треугольника, гипотенузы, равен сумме квадратов двух других его сторон. Диофант, один из древней­ших исследователей квадратных уравнений, написал сходное выра­жение: х⁴ + у* + г⁴ = и². «Почему, — спрашивает Ферма, — Диофант не искал две [вместо трех] четвертых степени, дающих в сумме квадрат некоего числа? Дело в том, что это невозможно, и мой ме­тод дает возможность доказать это со всей строгостью»¹¹. Ферма заметил, что Пифагор был прав, написав а² + Ь² = с², но а³ + Ь³ не будут равны с³ и ни для одного показателя степени, большего чем 2, такое равенство не будет выполняться: теорема Пифагора верна толь­ко для квадратов.

И затем Ферма написал на полях книги: «У меня есть прекрас­ное доказательство этого утверждения, но здесь негде его запи­сать»¹². Этой короткой фразой он ошарашил математиков, которые вот уже 350 лет пытаются найти теоретическое доказательство утверждения, получившего многочисленные эмпирические подтверж­дения. В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс (Wiles) заявил, что он решил эту головоломную задачу после семи лет ра­боты в Принстоне. Его результаты были опубликованы в «Annals of Mathematics» в мае 1995 года, но математики всё еще спорят относительно того, что он, собственно, получил.

Великая теорема Ферма представляет собой скорее курьез, чем постижение окружающего мира. А вот решение, которое Ферма и Паскаль разработали для задачи о разделе банка в незавершенной игре, до сих пор приносит пользу обществу в качестве краеуголь­ного камня современной системы страхования и других форм уп­равления риском.

Решение задачи об очках основывается на том, что игрок, опе­режающий противника в момент остановки игры, имеет больше шансов на победу, если игра продолжится. Но насколько больше? Насколько малы шансы отстающего игрока? Как, в конце концов, перекинуть мост от этой задачи к науке прогнозирования?

Переписка Паскаля и Ферма, которую они вели по этому по­воду в 1654 году, обозначила эпохальное событие в истории мате­матики и теории вероятностей* (Эта переписка в полном объеме, переведенная на английский язык, опубликована в: [David, 1962, Приложение 4].). Удовлетворяя любопытство, про­явленное к этой старой проблеме шевалье де Мере, они создали си­стематический метод анализа ожидаемых исходов. Поскольку мо­жет произойти больше вещей, чем происходит на самом деле, Пас­каль и Ферма предложили процедуру определения вероятности каждого из возможных результатов при допущении, что исходы могут быть оценены математически.

Они подошли к проблеме с разных позиций. Ферма обратился к чи­стой алгебре. Паскаль оказался более изобретательным: он использовал геометрическую форму для представления алгебраических структур. Его методология проста и приложима к широкому спектру проблем теории вероятностей.

Основная математическая идея, стоящая за этим геометрическим представлением алгебраических соотношений, зародилась задолго до Паскаля и Ферма. Омар Хайям обсуждал ее примерно на 450 лет раньше. В 1303 году китайский математик Ху Шайчи, явно не пре­тендуя на оригинальность, подошел к проблеме с помощью способа представления, который он называл «правдивое зеркало четырех элементов». Кардано тоже знал об этом методе¹³.

Правдивое зеркало Ху приобрело известность как треугольник Паскаля. «Пусть кто-нибудь попробует утверждать, что я не сказал ничего нового, — с гордостью пишет Паскаль в автобиографии. — Новшеством является трактовка предмета. Когда мы играем в тен­нис, мяч у нас общий, но один из нас играет лучше»¹⁴.

1 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

С первого взгляда на треугольник Паскаля рябит в глазах, но его структура достаточно проста: каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним справа и слева.

Вероятностный анализ начинается с вычисления числа возмож­ных ситуаций, обеспечивающих определенный исход некоего собы­тия — circuit Кардано* (См.главу 3, стр. 68. — Примеч. переводчика.). Именно эта совокупность и представлена последовательностью чисел в каждой строке треугольника Паска­ля. Первая строка представляет вероятность события, которое не может не произойти. Здесь возможен только один исход с нулевой неопределенностью; это, по сути, не относится к вероятностному анализу. Вторая строка уже представляет вероятностную ситуацию с шансами 50 на 50: вероятность исхода в ситуации, подобной рож­дению мальчика или девочки в семье, планирующей иметь только одного ребенка, или вероятность того, что при одном броске моне­ты вам выпадет именно орел или решка. При наличии только двух возможных исходов результат может быть тот или иной: мальчик или девочка, орел или решка; вероятность рождения мальчика, а не девочки или выпадения орла, а не решки равна 50%.

Рассмотрим в том же духе остальные строки треугольника. Тре­тья строка моделирует ситуацию с семьей, в которой двое детей. Возможны четыре варианта: один шанс за двух мальчиков, один шанс за двух девочек и два шанса за то, что в семье есть и маль­чик, и девочка — мальчик старше и мальчик младше девочки. Те­перь в конечном счете один мальчик (или одна девочка) появляют­ся в трех из четырех исходов, и, таким образом, вероятность нали­чия мальчика (или девочки) в семье с двумя детьми равна 75%, вероятность наличия мальчика и девочки в одной такой семье рав­на 50%. Очевидно, что процесс зависит от комбинаций чисел, ко­торые были отмечены в работе Кардано, правда еще не опублико­ванной к тому времени, когда Паскаль взялся за решение задачи.

Этот же метод анализа приводит к решению задачи об очках. Рас­смотрим вместо предложенной Пацциоли игры в balla бейсбол. Како­ва вероятность того, что ваша команда победит в World Series*(Первенство США по бейсболу. — Примеч. переводчика.) после проигрыша первого матча? Если мы, как в'случайных играх, пред­положим, что две команды играют одинаково, задача оказывается идентичной задаче об очках, которую решали Ферма и Паскаль¹⁵.

Допустим, вторая команда уже выиграла одну игру. Каково чис­ло разных последовательностей результатов, возможных в шести иг­рах, и какие из этих побед и поражений приведут вашу команду к победам в четырех играх, необходимым для выигрыша? Ваша ко­манда может выиграть вторую игру, проиграть третью и затем вы­играть последующие три. Она может проиграть две игры подряд и выиграть последующие четыре. Или она может выиграть нужные четыре игры сразу, оставив команду-соперника только с одним вы­игрышем. Сколько существует возможных комбинаций побед и пора­жений в серии из шести игр? Треугольник дает ответ на этот вопрос. Все, что вам нужно, вы найдете в соответствующей строке.

Заметьте, что вторая строка треугольника, строка с шансами 50 на 50, моделирует задачу о семье, имеющей одного ребенка, или задачу об одном броске монеты и описывает события с числом ис­ходов, равным 2. Следующая строка показывает распределение ис­ходов в задаче о семье с двумя детьми или в задаче о двух бросках монеты и описывает события, у которых число возможных исходов равно 4, или 2². Следующая строка описывает события с числом исходов, равным 8, или 2³, и показывает распределение исходов в задаче о семье с тремя детьми. В задаче с шестью играми, остав­шимися для определения победителя турнира, вам нужно рассмот­реть строку с числом возможных исходов 2⁶, то есть с 64 возмож­ными последовательностями побед и поражений²⁾. Последователь­ность чисел в этой строке такова:

1 6 15 20 15 6 1

Помните, что вашей команде для победы нужно выиграть еще четыре игры, а команде соперников нужны только три победы. Возможен случай, когда ваша команда выиграет все игры, а ее со­перники не одержат ни одной победы; число 1 в начале строки от­носится к этому случаю. Следующее число 6. Оно фиксирует шесть разных возможных последовательностей исходов, при осуществле­нии которых ваша команда В выиграет турнир, а ее соперники С выиграют только одну игру:

OYYYYY YOYYYY YYCYYY YYYCYY YYYYOY YYYYYO

И существует пятнадцать разных возможных последовательнос­тей исходов, при осуществлении которых ваша команда выиграет четыре игры, в то время как команда соперников победит дважды.

Все остальные комбинации в конце концов приводят к трем нужным для победы соперников выигрышам их команды и мень­шему, чем необходимо для победы вашей команды (напоминаем: ей нужны четыре победы), числу ее выигрышей. Это значит, что суще­ствует 1 + 6 + 15 = 22 комбинации, при осуществлении которых ваша команда победит после поражения в первом матче, и 42 комбинации, при которых чемпионом станет команда соперников. В результате ве­роятность того, что после первого поражения ваша команда в остав­шихся шести играх выиграет четыре прежде, чем команда соперни­ков выиграет три, равна ²²/₆4» или чуть больше одной третьей.

²' Математики заметят, что Паскаль на самом деле ввел здесь биномиальное распреде­ление, или коэффициенты возведения (а + ft) в степени, представленные целыми числами. Например, первой строке соответствует (а + fc)° = 1, в то время как чет­вертой строке соответствует (а + Ь)³ = 1а³ + За²Ь + Зой² + 1Ь³.

Из примера следует еще кое-что. Зачем ваша команда будет играть все шесть оставшихся игр в последовательности, в которой она может победить досрочно? Или зачем соперники будут играть все четыре игры, если они могут выиграть в трех и этого им будет достаточно для победы?

Хотя на деле ни одна команда не станет продолжать игру после достижения необходимого для определения чемпиона числа выиг­рышей, логически законченное решение проблемы было бы неосу­ществимо без рассмотрения всех математических возможностей. Как заметил Паскаль в переписке с Ферма, в ходе решения задачи математические законы должны доминировать над желанием са­мих игроков, рассматриваемых только как абстракции. Он поясня­ет, что «для них обоих абсолютно безразлично и несущественно, будет ли [игра] на деле идти до самого конца».

Переписка была для Паскаля и Ферма восхитительным опытом исследования новых интеллектуальных пространств. Ферма писал Каркави о Паскале: «Я уверен, что он способен решить любую про­блему, за которую возьмется». В одном из писем к Ферма Паскаль признаётся: «Ваши числовые построения... превосходят мое по­нимание». В другом месте он характеризует Ферма как «челове­ка такого выдающегося интеллекта... и такого высочайшего мас­терства... [что его работы] сделают его первым среди геометров Европы».

У рассматриваемой задачи были аспекты, которые и Паскаля, глубоко погруженного в религиозные и моральные искания, и юри­ста Ферма беспокоили больше, чем связанные с ней математиче­ские проблемы. Согласно полученному ими решению, раздел банка в неоконченной игре в balla затрагивает проблемы морального пра­ва. Хотя игроки могли бы сразу поделить банк поровну, это реше­ние Паскалю и Ферма кажется неприемлемым, потому что оно бы­ло бы несправедливым по отношению к игроку, который к момен­ту прекращения игры оказывается впереди¹⁶.

Паскаль явно озабочен моральными аспектами проблемы и ос­торожен в словах. В своих комментариях к этой работе он отмеча­ет: «...в первую очередь следует признать, что деньги, поставлен­ные игроками на кон, им больше не принадлежат... но взамен они получают право ожидать того, что им принесет удача в соответ­ствии с правилами, на которые они согласились вначале». Если они решат остановить игру, не доведя ее до конца, им придется вновь восстановить исходные права на внесенные в банк деньги. Тогда «должно действовать правило, согласно которому деньги нужно распределить пропорционально тому, что каждому обещала удача. <...> Это справедливое распределение известно как раздел». Справедливые пропорции раздела определяют принципы теории вероятностей.

С учетом этого подхода становится очевидным, что решение Паскаля-Ферма ярко окрашено идеей управления риском, хотя они явно не использовали это понятие. Только безумец идет на риск, если правила не определены, будь то balla, покупка акций IBM, строительство фабрики или согласие на удаление аппендикса.

Но помимо моральных проблем, предложенное Паскалем и Фер­ма решение приводит к точным обобщениям и правилам вычисле­ния вероятностей, включая случаи участия более чем двух игро­ков, двух команд, двух полов, двух костей или монет с орлом и решкой. Применение этого подхода позволило им расширить границы теоретического анализа далеко за пределы наблюдений Кардано, что две кости с шестью гранями (или два броска одной кости) дадут б² комбинаций, а один бросок трех костей дает б³ комбинаций.

Последнее письмо в переписке Паскаля и Ферма датировано 27 октября 1654 года. Меньше чем через месяц Паскаль прошел через своего рода мистический опыт. Он зашил описание этого со­бытия в свое платье, чтобы носить его у сердца, провозгласив: «От­речение, абсолютное и сладостное». Он отказался от занятий мате­матикой и физикой, отрекся от роскоши, покинул старых друзей, продал всё, кроме религиозных книг, и вскоре ушел в парижский монастырь Пор-Рояль.

В июле 1660 года Паскаль совершил поездку в Клермон-Фер-ран, недалеко от жилища Ферма в Тулузе. Ферма предложил встретиться, чтобы «обняться и побеседовать пару дней», на пол­пути между двумя городами; он жаловался на плохое здоровье, объясняя нежелание взять на себя труд проехать все расстояние самому. В августе Паскаль в ответ написал:

Я едва помню, что существует такая вещь, как геометрия [т. е. матема­тика. — П. Б.]. Я почитаю геометрию столь бесполезной, что не могу ус­мотреть разницу между геометром и хорошим ремесленником. Хотя я считаю ее лучшим в мире ремеслом, это все же не более чем ремесло... Весьма вероятно, что я никогда больше не буду думать об этом¹⁷.

Во время пребывания в Пор-Рояле Паскаль собрал воедино свои мысли о жизни и религии и опубликовал их в книге, озаглавлен­ной «Pensees» («Мысли»)¹⁸. Во время работы над этой книгой он за­полнил с обеих сторон два листа бумаги, по словам Хакинга «на­писанные разбегающимся во все стороны почерком... полные подчис­ток, исправлений, производящие впечатление запоздалых раздумий». Этот фрагмент приобрел известность как пари Паскаля (le pari de Pascal). Здесь он задается вопросом: «Есть Бог или нет Бога? К чему нам склониться? Разум молчит».

Опираясь на свой анализ вероятных исходов игры в balla, Пас­каль ставит вопрос в терминах случайных игр. Он постулирует иг­ру, которая продолжается до бесконечности. В данный момент бро­сается монета. На что вы поставите — на орла (Бог есть) или реш­ку (Бога нет)?

Хакинг утверждает, что ход рассуждений Паскаля в предло­женном им варианте ответа на этот вопрос представляет собой на­чало теории принятия решений. «Теория принятия решений, — рассуждает Хакинг, — это теория о том, на что решиться, когда неизвестно, что произойдет»¹⁹. Принятие такого решения являет­ся первым и важнейшим шагом при любых попытках управлять риском.

Иногда мы принимаем решения на основе прошлого опыта, тех экспериментов, которые мы или другие проводили в течение жиз­ни. Но нам недоступен эксперимент, способный доказать бытие или небытие Бога. Зато в наших силах исследовать будущие по­следствия веры или неверия в Бога. Мы никогда не сможем изба­виться от этой дилеммы, потому что самим актом своего существо­вания принуждены играть в эту игру.

Паскаль объясняет, что вера в Бога — это не решение. Вы не можете проснуться утром и сказать: «Сегодня, кажется, я решу ве­рить в Бога». Вы верите или не верите. Решением, следовательно, является выбор или отказ от таких действий, которые будут вести к вере в Бога, подобно общению с благочестивыми людьми и сле­дованию жизни «святой и праведной». Следующий этим предписа­ниям ставит на то, что Бог есть. Тот, кто не может смириться с ними, ставит на то, что Бога нет.

Единственный способ выбрать между ставкой на то, что Бог есть, и ставкой на то, что Он не существует, в этой описанной Пас­калем бесконечной игре с бросанием монеты заключается в принятии решения, является ли исход, при котором Бог существует, в не­котором смысле более предпочтительным, чем исход, в соответствии с которым Бог не существует, даже если шансы могут быть толь­ко 50 на 50. Как раз этот взгляд привел Паскаля к решению — к выбору, в котором ценность исхода и вероятность того, что он бу­дет иметь место, различаются, потому что последствия обоих ис­ходов различны³⁾.

Если Бога нет, не важно, ведем мы праведную жизнь или гре­шим. Но предположим, что Бог есть. Тогда, поставив против Его существования и отказавшись от праведной жизни, вы рискуете быть обреченным на вечные муки; поставив же на существование Бога, вы приобретаете возможность спасения, если Он есть. По­скольку спасение, естественно, предпочтительнее вечных мук, пра­вильным следует признать решение исходить в своем поведении из предположения, что Бог есть. «К чему нам склониться?» Для Пас­каля ответ был очевиден.

Здесь Паскаль предвосхитил эпохальное открытие Даниила Бернулли в теории при­нятия решений, сделанное им в 1738 году, о чем мы поговорим подробно в главе 6. Латинское название этой книги было «Ars Cogitandi», см.: [Hacking, 1975, p. 12, 24].

Когда Паскаль решил пустить в оборот прибыль от принадле­жавшей ему омнибусной линии, чтобы оказать финансовую помощь монастырю Пор-Рояль, он получил интересный побочный продукт²⁰. В 1662 году группа его сотоварищей по монастырю опубликовала ра­боту большой важности, «La logique, ou 1'art de penser» («Логика, или Искусство мыслить»), которая между 1662-м и 1668 годами выдержала пять изданий⁴). Хотя имя ее автора не было названо, основным — но не единственным — автором считается Антуан Арно, которого Хакинг полагает, «по-видимому, самым блестящим теоло­гом своего времени»²¹. Книга была немедленно переведена на дру­гие европейские языки и еще в XIX столетии использовалась в ка­честве учебника.

В последней части книги есть четыре главы о вероятности, ко­торые касаются процесса развития гипотезы, основанной на огра­ниченном наборе фактов; сегодня этот процесс называют статисти­ческим выводом. Среди прочего в этих главах излагаются «правило должного применения разума в определении ситуаций, когда сле­дует подчиниться авторитету других», правила истолкования чудес, основа для истолкования исторических событий и рассказыва­ется о применении количественных измерений вероятности²².

В последней главе описывается игра, в которой каждый из де­сяти игроков ставит одну монету в надежде выиграть девять монет партнеров по игре. Автор указывает, что есть «девять шансов поте­рять монету и только один — выиграть девять»²³. Несмотря на тривиальность, эта фраза заслужила бессмертие. По утверждению Хакинга, это первый случай в печатной литературе, «когда веро­ятность, что называется, измерена»²⁴.

Выражение заслуживает бессмертия не только по этой причине. Автор предполагает, что описываемые им игры тривиальны, но он проводит аналогию с событиями, взятыми из жизни. Например, вероятность быть убитым молнией мала, но «многие люди... очень пугаются при звуках грома»²⁵. Затем он высказывает принципи­ально важное утверждение: «Страх перед ущербом должен быть пропорционален не только величине ущерба, но и вероятности его нанесения»²⁶. Здесь мы сталкиваемся еще с одной важной новой идеей: на решение должны влиять оба фактора — тяжесть послед­ствий и их вероятность. Можно эту мысль сформулировать иначе: решение должно учитывать и силу нашего желания некоего опре­деленного исхода, и оценку того, насколько вероятен желательный исход.

Сила нашего стремления к чему-либо, что представляется по­лезным, быстро становится чем-то большим, чем простой служан­кой вероятности. Полезность занимает центральное место во всех построениях теории принятия решений и готовности к риску. Позже мы не раз вернемся к этой мысли.

Историки любят отмечать случаи, когда что-то очень важное почти случилось, но по той или иной причине все-таки не про­изошло. История треугольника Паскаля — яркий пример такого случая. Мы видели, как можно строить предположения о возмож­ном числе мальчиков и девочек в многодетных семьях. Мы выяс­нили, как определять вероятные результаты в чемпионате (для рав­ных по классу команд) после того, как часть матчей уже сыграна. Короче говоря, мы уже делали прогнозы! Паскаль и Ферма сумели завладеть ключом к систематическому методу вычисления вероят­ности будущих событий. Они еще не повернули этот ключ, но уже вставили его в замок. Значение их открытий для управления риском и принятия решений в бизнесе, в частности в системе страхо­вания, было оценено другими. В «Логике» Пор-Рояля сделан пер­вый важный шаг. От Паскаля и Ферма идея предсказания тенден­ций экономического развития или использования вероятности для предсказания экономических потерь была еще слишком удалена, чтобы они могли заметить и по достоинству оценить ее. Только ретроспективный взгляд позволяет увидеть, как близко они к это­му подошли.

Неизбежная неопределенность будущего никогда не позволит нам полностью изгнать тень рока из наших надежд и страхов, но после 1654 года способ мумбо-юмбо был навсегда вычеркнут из числа методов прогнозирования и выбора решений.

Глава 5

Замечательные идеи

замечательного

галантерейщика

Всем приходится порой принимать решения на основе огра­ниченных данных. Пригубив, а то и только понюхав вино, мы решаем, стоит ли пить его дальше. Ухаживание за бу­дущей женой длится короче, чем предстоящая жизнь. Анализ не­скольких капель крови помогает осудить или оправдать подозрева­емого в убийстве. Опрос 2000 человек позволяет судить о настрое­нии нации. Индекс Dow Jones Industrial строится по данным о по­ведении тридцати выпусков акций, но по нему судят о движении триллионов долларов, принадлежащих миллионам семей и тыся­чам крупных финансовых учреждений. Джорджу Бушу хватило одного листа капусты, чтобы решить, что это не для него.

Многие критические решения невозможно принять без выбо­рочного обследования. Когда вы уже выпили бутылку, поздно за­являть, что вино непригодно или, напротив, весьма хорошо. Чтобы определить группу крови, врачу незачем выкачивать из вас всю кровь до капли, а президенту не нужно опрашивать всех избирателей, чтобы выяснить желания электората, и не стоит съедать всю капус­ту на свете, чтобы понять, что она невкусная.

Выборка является важнейшим элементом стратегии риска. Мы постоянно используем выборки из настоящего и прошлого, чтобы судить о будущем. «В среднем» — всем знакомое выражение. Но на­сколько заслуживает доверия то среднее, к которому мы апеллиру­ем? Насколько представительна выборка, изучив которую мы выно­сим суждение? Вообще, что значит «в среднем»? Статистики шутят, что сидеть на плите с головой в холодильнике в среднем неплохо. Вспомните притчу о слоне и слепых, которые ощупывали его со всех сторон, чтобы понять, что это такое.

Методы статистического выборочного обследования имеют за плечами долгую историю, и нынешние методы существенно совер­шеннее тех, которые использовали в прошлом. Любопытно исполь­зование выборки в процедуре, известной как «испытание ящика» (Trial of the Pyx), которая была впервые проведена в 1279 году по приказу английского короля Эдуарда 1 ¹.

Процедура осуществлялась с целью проверить, соответствуют ли отчеканенные на королевском монетном дворе монеты установлен­ным стандартам по составу золота и серебра. Странное слово рух происходит от греческого слова, обозначающего коробку; в данном случае так именовали ящик, в который клали случайно отобранные монеты, выпущенные монетным двором. В ходе испытаний их срав­нивали с королевской золотой пластинкой, которая хранилась в на­глухо запертой специальной часовне Вестминстерского аббатства. Поскольку было невозможно добиться абсолютной точности содер­жания золота в каждой монете, процедура предусматривала опреде­ленные допустимые отклонения от стандарта.

Более амбициозные и важные попытки применить метод статис­тической выборки имели место в 1662 году, восемь лет спустя после переписки Паскаля и Ферма (и в год окончательного принятия Пас­калем судьбоносного для него решения о существовании Бога). Речь идет о маленькой книжице, опубликованной в Лондоне под названи­ем «Естественные и политические наблюдения, касающиеся свиде­тельств о смерти» («Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality»). Она содержит данные о рождаемости и смертно­сти в Лондоне с 1604-го по 1661 год и снабжена пространным ком­ментарием, интерпретирующим эти данные. В истории статистиче­ских и социологических исследований она сыграла выдающуюся роль; это был дерзкий и решительный переход к использованию вы­борочных и вероятностных методов, являющихся основой всех ас­пектов управления риском — от страхования и измерения экологи­ческих рисков до конструирования наиболее сложных производных ценных бумаг.

Любопытно, что автор книжицы Джон Грант не был ни статис­тиком, ни демографом — тогда таких специальностей просто не су­ществовало². Не был он и математиком, актуарием, ученым, препо­давателем университета или политиком. Грант, которому к тому вре­мени исполнилось 42 года, всю свою сознательную жизнь был галан­терейщиком, торговавшим пуговицами и прочей мелочевкой.

Наверно, он был удачливым бизнесменом, потому что имел до­статочно денег, чтобы не ограничивать свои интересы только по­ставкой товара для застегивания одежды. По свидетельству Джона Эбри, современника и биографа Гранта, он был «весьма оригиналь­ным и преданным ученым занятиям человеком... [который] рано утром, до открытия своей лавки, приходил в рабочий кабинет... всегда готовый к шутке и красноречивый»³. Он состоял в друже­ских отношениях с самыми выдающимися интеллектуалами своего времени, включая Уильяма Петти, помогавшего ему в обработке статистических данных о народонаселении.

Петти сам был замечательным человеком. Врач по профессии, он побывал таможенным инспектором в Ирландии, профессором ана­томии и музыки. Он провернул ряд удачных спекуляций во время войны с Ирландией и был автором книги под названием «Политиче­ская арифметика» («Political Ariphmetic»), которая принесла ему славу основателя современной экономической науки⁴.

Книжица Гранта выдержала по меньшей мере пять изданий и нашла массу последователей как в Англии, так и за ее пределами. В 1666 году Петти опубликовал рецензию на нее в парижском «Journal des Sgavans», и через год подобное обследование было проведено во Франции. Внимание к работе Гранта было столь вели­ко, что король Карл II предложил принять его в члены Королев­ского общества. Хотя члены Общества без особого энтузиазма от­неслись к предложению принять в свои ряды простого лавочника, король возразил, что, «если бы таких лавочников было побольше, следовало бы, ни минуты не колеблясь, принять их всех», и Грант стал членом Общества.

У истоков Королевского общества стоял человек по имени Джон Уилкинс (1617-1672), сначала организовавший клуб избранных блестящих знакомых, которые встречались в его доме в Wadham College⁵. Образцом для клуба послужили собрания в парижском до­ме аббата Мерсенна. Усилиями Уилкинса созданный им клуб пре­вратился в первую и самую знаменитую из всех академий, которые стали возникать к концу XVII века; образованная вскоре Француз­ская Академия наук построена по образцу Королевского общества.

Позже Уилкинс стал епископом в Чичестере, но более интересен он как автор научной фантастики, украшенной ссылками на вероят­ность. Одна из его работ, опубликованная в 1640 году, носит много­обещающее название «Открытие мира на Луне, или Рассуждение, направленное на доказательство вероятности иного обитаемого мира на этой планете» («The Discovery of the World in the Moone or a dis­course tending to prove that 'tis probable there may be another habitable world in that planet»). Кроме того, предвосхищая фантазии Жюля Верна, он работал над конструкцией подводной лодки для плавания подо льдами Северного Ледовитого океана.

Мы не знаем, что побудило Гранта предпринять обследование рождаемости и смертности в Лондоне, но сам он признавался, что ему доставило «большое удовольствие получение многих глубоко­мысленных и неожиданных выводов из этих несчастных списков смерти... И так приятно сделать что-то новое, даже совсем пустяк»⁶. Но у него была и серьезная цель: «выяснить, сколько есть людей оп­ределенного пола, положения, возраста, религиозной принадлежно­сти, рода занятий, звания и положения и т.д., благодаря чему тор­говцы и правительство могли бы вести дела с большей уверенностью и определенностью; потому что, если это будет известно, станут из­вестными потребности, и, таким образом, торговцы не будут обольщаться несбыточными надеждами»⁷. Он очень своевременно первым заговорил о необходимости изучения рынка, одновременно предоставив правительству сведения о числе людей, пригодных к несению военной службы.

Информация о рождаемости и смертности долгое время храни­лась в приходских церквях, но с 1603 года лондонские городские власти взяли на себя ведение аналогичных еженедельных записей. Такого же рода данные были и в Голландии, где муниципальные власти финансировали городские нужды за счет продажи пожиз­ненной ренты — полисов, выкупаемых сразу, после чего в течение жизни владельцу полиса, а в некоторых случаях и его наследни­кам периодически выплачивалась определенная полисом сумма. Во французских церквях также велись записи крещений и смертей.

Хакинг утверждает, что Грант и Петти не знали о работах Пас­каля и Гюйгенса, но «по наущению Божьему, или из любопытства, или на основе коммерческих или государственных интересов по­добные идеи появились одновременно у многих»⁸. Грант выбрал очень подходящий момент для публикации и анализа важной ин­формации о населении Англии.

Вряд ли он при этом осознавал, что стал создателем теории выбо­рочных исследований. На самом деле он манипулировал скорее с полным набором данных о смертности, нежели с выборкой. Но при­мененный им способ рассмотрения наборов данных представлял со­бой нечто новое. Используемые им методы анализа данных были положены в основу статистической науки⁹. Слово «статистика» проис­ходит от анализа количественных данных о государстве (state). Грант и Петти могут рассматриваться как создатели этого важного раздела науки.

Грант работал в то время, когда Англия из страны с преимущест­венно сельскохозяйственным производством постепенно превраща­лась во все более сложное общество с обширными заморскими коло­ниальными владениями и бурно развивающимся бизнесом. Хакинг отмечает, что, пока в основе налогообложения была земельная собст­венность и площади обрабатываемых земель, никого не волновало, сколько на них живет людей. Например, кадастровая книга Вильгель­ма Завоевателя от 1085 года, известная как «Книга Страшного суда» («Domesday Book»), включала кадастр земель и стоимость недвижимо­сти, но не содержала сведений о числе стоящих за этим людей.

С ростом больших и малых городов стали проводиться перепи­си. Петти обосновывал важность статистических данных о народо­населении необходимостью учета числа людей, пригодных к воен­ной службе, и числа налогоплательщиков. Самого Гранта, который был в первую очередь дельцом периода великого процветания, ка­жется, не слишком интересовали политические вопросы.

Но были другие факторы, стимулировавшие появление его рабо­ты. За два года до опубликования «Наблюдений» был возвращен из Голландии Карл II, где он находился в изгнании. Реставрация изба­вила англичан от интеллектуальных ограничений, которыми пури­танство утомило нацию. Конец абсолютизма и парламентаризм обу­словили новое понимание свободы и прогресса в стране. К тому же начался приток громадных богатств из колоний в Америке, Азии и Африке. Исаак Ньютон, которому было тогда 28 лет, заставил лю­дей по-новому посмотреть на планету, на которой они жили. Да и сам Карл II был свободомыслящим жизнерадостным монархом, не требовавшим от своих подданных отказа от радостей жизни.

Это было самое подходящее время, чтобы распрямиться и огля­нуться вокруг. Грант так и поступил и начал считать.

Хотя его книга представляет интерес для социологов, медиков, политологов и историков, самое главное в ней — использование вы­борки. Грант заметил, что доступные ему статистические данные со­держат только часть сведений о рождаемости и смертности в Лондо­не, но это не помешало ему сделать далеко идущие заключения на основе той информации, которая оказалась в его распоряжении. Его метод анализа получил название статистического вывода — т. е. по­лучения глобальной оценки на основе выборки данных; разработка методов оценки вероятности расхождений между установленными на основе выборки и истинным значением измеряемой величины была еще впереди. Основополагающими усилиями Гранта простой процесс сбора информации был превращен в могучий, совершенный инстру­мент описания окружающего мира — земного и небесного.

Сырой исходный материал, который собрал Грант, содержался, как уже сказано, в списках умерших, которые городские власти Лондона стали вести с 1603 года. Случайно год совпал с годом смерти королевы Елизаветы; в этот же год на Лондон обрушилась страшная эпидемия чумы. Доскональное изучение положения дел со здоровьем нации стало особенно актуальным¹⁰.

В списках указывалась причина смерти и число умерших, и из того же источника Грант почерпнул еженедельные сведения о кре­стинах детей. На иллюстрации представлен документ за две недели 1665 года¹* (Для оценки стоимости жизни служили данные о количестве хлеба, которое можно бы­ло купить на пенни. В наше время для этого используют корзину товаров и услуг). Из документа следует, что только за одну неделю с 12 по 19 сентября умерли от чумы 7165 человек и всего четыре из 130 приходов эта болезнь миновала¹¹.

Грант, собственно, интересовался причинами смертности, в осо­бенности «такой чрезвычайной и страшной причиной», как чума, и образом жизни людей, живших под постоянной угрозой опусто­шительных эпидемий. В документах, относящихся к 1632 году, например, он нашел около шестидесяти разных причин смерти и 628 смертей под рубрикой «старость». В качестве причин встреча­ются «испуг», «укус бешеной собаки» (по одному случаю), «глис­ты», «гнойное воспаление в горле» и «смерть от голода в колыбе­ли». В 1632 году было только 7 убийств и 15 самоубийств.

В том, что в Лондоне наблюдалось «так мало убийств... в то время как в Париже не проходит ночи без трагедии», Грант усматривает заслугу правительства и лондонской городской стражи. Он также отмечает «естественное, свойственное большинству англичан отвра­щение к этому бесчеловечному преступлению и любому кровопроли­тию» и добавляет, что даже «узурпаторы» во время английской ре­волюции казнили только очень немногих соотечественников.

Грант приводит данные о смерти от чумы по годам; одним из худших был 1603 год, когда в 82% случаев хоронили жертв чумы. С 1604-го по 1624 год он насчитал 229 250 умерших от разных болезней и несчастных случаев, из них около трети от детских бо­лезней. Подсчитав, что детская смертность составляет 50% смертно­сти по причине болезней, он заключает, что «около 36% детей уми­рают в возрасте до шести лет». Менее 4000 умерли от «наружных бо­лезней, таких, как рак, свищ, раны, язвы, ушибы и переломы, парша, ожоги, проказа, оспа, венерические заболевания и т. д.».

Грант предполагает, что превалирование острых и эпидемиче­ских заболеваний может объясняться «особенностями страны, кли­матическими условиями, состоянием воздуха... так же как и пита­нием». Он отмечает, что очень немногие голодают и что нищие, «снующие по городу... по большей части производят впечатление здоровых и сильных людей». Он рекомендует властям задерживать их и приучать к труду «каждого в соответствии с его особенностя­ми и способностями».

Обсудив распространенность несчастных случаев, большинство которых, по его мнению, связано с профессиональной деятельно­стью, Грант обращается к «одной болезни из наших списков, о кото­рой много говорят, и всё без толку». Речь идет о French-Pox — раз­новидности сифилиса, «обусловленной в большинстве случаев не столько невоздержанностью (которая скорее является причиной ис­тощения), сколько изобилием женщин легкого поведения»²⁾. Грант удивляется, почему в записях зафиксировано так мало смертей от этой болезни, в то время как «множество мужчин время от времени заражаются различными разновидностями этой болезни». Он за­ключает, что за многими записями о смерти от язв и болячек скры­ваются смерти от венерических заболеваний. По мнению Гранта, че­ловек должен ужасно опуститься, чтобы власти назвали истинную причину смерти: «только относительно презираемых и покойников с провалившимися носами... признавали причиной смерти эту слиш­ком частую болезнь».

Хотя списки умерших представляли собой богатый фактиче­ский материал, Грант отдавал себе отчет в неполноте данных, с ко­торыми работал. Он предупреждал о недостоверности медицинских заключений, «потому что даже самые сведущие прихожане в состоя­нии опознать всего несколько причин смерти на основе простого осмотра мертвого тела». Кроме того, только крещенные в англикан­ских церквях подлежали регистрации, а католики и диссиденты в поле зрения исследователя не попадали.

Слово venery ('похотливый') происходит от средневекового французского слова иепег — 'охотиться, рыскать, преследовать' (от которого также слово venison — 'оленина') и от Venus — Венера (от которого пошло слово venereal — 'сладострастный, венери­ческий'). Очень почтенное (venerable) слово!

Полученные Грантом результаты были поистине впечатляющи. Сам он говорил, что «в результате размышлений над этими забро­шенными бумагами... нашел некоторые истины и малораспростра­ненные мнения и пошел дальше, стараясь понять, какую пользу может извлечь мир» из того, что он узнал. В своем анализе Грант коснулся записей о меняющейся из года в год частоте различных заболеваний, о миграции населения в Лондон и из него «во время эпидемий» и о соотношении численности мужчин и женщин.

К наиболее значительным достижениям проведенного Грантом обследования следует отнести первую обоснованную оценку чис­ленности населения Лондона и указание на важность демографи­ческих данных для выявления роста или уменьшения числа горо­жан, а также выяснения, «достаточно ли оно велико или слиш­ком велико». Он также осознал, что оценка численности населе­ния должна помочь определить вероятность того, что отдельный человек может стать жертвой чумы. При этом он использовал не­сколько методов оценки для проверки надежности полученных результатов.

Одно из рассуждений Грант начинает с предположения, что число способных к деторождению женщин вдвое превышает еже­годное число родов, потому что «такие женщины... редко рожают чаще, чем раз в два года»¹². В среднем в городе ежегодно бывало 13 000 похорон, что соответствовало числу смертей в отсутствие эпидемии чумы. Отметив, что число рождений, как правило, меньше числа похорон, он произвольно принял его в среднем равным 12 000, что в свою очередь означало, что было 24 000 «плодящихся женщин». Затем Грант установил среднюю числен­ность семьи с домочадцами, включая слуг и жильцов, оказавшу­юся равной восьми на одно домашнее хозяйство, а также что об­щее число таких семейств было вдвое больше числа семейств, включающих женщин детородного возраста. Таким образом, на­личие 48 000 лондонских семей, в среднем по восемь человек в каждой, позволяло заключить, что население Лондона составляло в ту пору 384 000 человек. Эти цифры могли оказаться занижен­ными, но они, по-видимому, были ближе к истине, чем бытовав­шее в те времена мнение, будто в Лондоне проживало два милли­она человек.

Другое приложение метода Гранта базировалось на изучении карты Лондона, относящейся к 1658 году, и исходило из предположения, что на каждую из 54 семей приходилось около 100 квад­ратных ярдов площади города — примерно по 200 человек на акр (0,405 гектара). Из этого предположения следовало, что в пределах городских стен проживало 11880 семей. Из списков умерших сле­довало, что 3200 из 13000 ежегодно умиравших горожан, то есть 1/4> приходились именно на эту часть Лондона. Но 11880, умно­женные на 4, дают 47 520 семей. Может быть, Грант здесь считал назад от оценки, полученной с помощью его первого метода? Мы уже никогда не узнаем об этом.

Грант нигде не пользовался словом «вероятность», но он явно осознавал значение этого понятия достаточно глубоко. В силу слу­чайного совпадения он повторяет рассуждения «Логики» Пор-Рояля о преувеличенном страхе перед грозой:

Принимая во внимание, что многие люди, обуреваемые мрачными пред­чувствиями, живут в постоянном страхе перед пользующимися дурной славой ужасными болезнями, я установлю, сколько людей умерло от каждой из них, то есть соответствующие каждой болезни смертельные случаи, и сравню их с общим числом смертей в 229 520 [смертность за двадцать лет], чтобы люди смогли точнее оценить степень риска, кото­рому они подвергаются.

В другом месте он замечает: «С позиций общей оценки не имеет значения, живет ли один человек на десять лет дольше или десять человек — на год дольше»¹³. В сущности, это первая постановка за­дачи вычисления средней продолжительности жизни в вероятност­ном разрезе. Пообещав изложить суть в «коротком параграфе, в сжа­той форме без сложных рассуждений, основанных на длинных спис­ках», Грант не утруждает себя тщательной разработкой обоснований. Он стремился установить ожидаемую среднюю продолжительность жизни, которую нельзя было получить на основе используемых им данных о смертности.

Используя свою оценку, согласно которой «около тридцати шести процентов всех детей не доживало до шести лет», и предположение, что большинство людей не доживает до 75 лет, он составил таблицу, представляющую число людей в возрасте от 6 до 76 лет на 100 чело­век населения; для сравнения в правой колонке приводятся анало­гичные данные за 1993 год для США.

Поиск по сайту: