Оптимальность по Парето

При попытке выбрать наилучшее решение, мы видим, что каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Таким образом, имеет оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения. Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач.

Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А некоторое множество операций. Каждая операция а имеет две числовые характеристики: ε (а) и r (а) – эффективность и риск и разные операции желательно, чтобы ε было больше, а r – меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию b и обозначать a > b, если ε (а) ≥ ε (b) и r (а) ≤ r (b) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а b – доминируемой.

Очевидно, что доминируемая операция не может быть наилучшей и наилучшую операцию надо искать среди недоминируюемых операций. Множество этих операций называется множеством оптимальности по Парето.

Справедливо следующее утверждение: На множестве Парето каждая из характеристик Е, r – однозначная функция другой. Иными словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую.

Доказательство. Пусть а и b – две операции из множества Парето, тогда r (а) и r (b) – числа. Пусть r (а) ≤ r (b), тогда ε (а) не может быть равно ε (b), так как обе точки а и b принадлежат множеству Парето. Аналогично доказывается, что по характеристике ε можно определить характеристику r.

Дадим графическую иллюстрацию рассматриваемому выше примеру. Каждую операцию – решение отметим как точку на плоскости – доход отложим по вертикали, а риск – по горизонтали. Получим 4 точки:

или

Чем выше точка - тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит надо выбирать точку выше и левее.

В этом случае множество Парето состоит только из одной 3-й операции. Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции Q с характеристиками дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию.

Например, пусть взвешивающая формула есть f (Q) = 2 - . Тогда для операций-решений рассматриваемого примера имеем:

f (Q ₁) = 2 ∙ 29/6 – 20/6 = 38/6 = ,

f (Q ₂) = 2 ∙ 25/6 – 4 = 26/6 = ,

f (Q ₃) = 2 ∙ 7 – 7/6 = ,

f (Q ₄) = 2 ∙ 17/6 – 32/6 = .

Видно, что 3 -я операция лучшая, а 4 -я худшая.

Взвешивающая формула отражает отношение ЛПР к доходу и риску.

Правило Лапласа.

Такое правило применяют в условиях полной неопределенности, при этом все вероятности p_j считают равными и затем выбирают одно из правил: либо максимизации дохода, либо минимизации риска.

Поиск по сайту: