СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

Структура реальных металлов и сплавов и распреде­ление ее дефектов неодинаковы даже в пределах одного образца. Поэтому механические свойства, определяемые этой структурой и дефектами, строго говоря, различны для разных объемов одного образца. В результате те ха­рактеристики механических свойств, которые мы долж­ны оценивать при испытаниях, являются среднестати­стическими величинами, дающими суммарную, матема­тически наиболее вероятную характеристику всего объ­ема образца, который принимает участие в испытании. Даже при абсолютно точном замере механических свойств они будут неодинаковы у разных образцов из одного и того же материала. Инструментальные (систе­матические и случайные) ошибки определения характе­ристик свойств, связанные с измерением нагрузок, де­формаций, размеров и т. д., еще более увеличивают раз­брос экспериментальных результатов. Задачи статисти­ческой обработки результатов механических испыта­ний — оценка среднего значения свойства и ошибки в определении этого среднего, а также выбор минимально необходимого числа образцов (или замеров) для оцен­ки среднего с заданной точностью.

Эти задачи являются стандартными для статистиче­ской обработки результатов любых измерений и подроб­но рассмотрены в различных руководствах. Здесь будут даны лишь некоторые элементы обработки, необходимые практически при любых испытаниях.

Совокупность значений механических свойств обыч­но хорошо подчиняется нормальному закону распределе­ния. Поэтому среднее значение х какого-либо свойства по результатам n измерений в большинстве случаев рас­считывают как среднее арифметическое:

(1)

Прежде чем определять среднее значение, рекомен­дуется проверить совокупность полученных значений на присутствие резко выделяющихся результатов испыта­ний. Они обычно являются следствием какой-либо грубой ошибки в измерениях или наличия крупных дефек­тов в образце. Такие результаты следует исключить из дальнейших рассмотрений. Чем ближе друг к другу от­дельные значения измерений x_i, тем выше точность, меньше рассеяние — ошибка в определении среднего х. Для оценки ошибки отдельных измерений определяют их отклонение от среднего в виде дисперсии:

(2)

или среднего квадратичного отклонения (стандартного отклонения) отдельного измерения

(3)

Важной характеристикой точности изменений являет­ся также относительная величина среднего квадратич­ного отклонения — коэффициент вариации

(4)

Однако все перечисленные характеристики ошибок измерений еще ничего не говорят о надежности получен­ных результатов. Наиболее точную оценку величины ошибок дает доверительный интервал в сочетании с до­верительной вероятностью.

Обозначим истинную величину измеряемого свойства через х, погрешность ее измерения через D х, среднее арифметическое значение, которое мы получим по ре­зультатам испытаний, . Предположим теперь, что веро­ятность отличия от х на величину, не большую чем D х, равна a:

Вероятность а называется доверительной вероят­ностью, а интервал значений от х – D х до х + D х — до­верительным интервалом.

Уровни доверительной вероятности обычно принима­ют равными 0,9; 0,95 или 0,99. Величина доверительного интервала определяется средним значением , средним квадратичным отклонением s и критерием Стьюдента t, который зависит от выбранной доверительной вероятно­сти а и числа измерений n:

Среднее значение свойства можно определять по раз­ному числу измерений. Естественно, что наше среднее будет тем ближе к истинному значению определяемой величины, чем больше будет число замеров n. Однако.практически увеличивать n невыгодно и стремятся полу­чить среднее с определенной точностью при минималь­ном n.

Один из методов определения достоверного среднего при минимальном n базируется на априорном задании возможного разброса х в пределах доверительного ин­тервала.

Допустим для примера, что за достоверное среднее значение числа твердости мы считаем нужным принять такую его величину, которая с доверительной вероят­ностью a = 0,99 не будет отклоняться от х больше чем на 5 кгс/мм² (последнюю величину выбирают, исходя из точности используемого метода). Определив s по ряду измерений п и постепенно увеличивая их число, с по­мощью специальных таблиц находим такое n при ко­тором

Если из предварительных экспериментов известны ха­рактеристики точности используемого метода испытаний применительно к испытываемому материалу, то мини­мально необходимое число экспериментов можно опре­делить априори по следующей формуле:

(5)

Здесь m — число испытаний в предварительных опытах;

W_m — разница между максимальным и минималь­ным значением результатов предваритель­ных испытаний;

1_Р — задаваемое с вероятностью Р максимальное допустимое отклонение среднего значения от истинного;

где d_m —коэффициент для оценки среднего квадратич­ного отклонения по числу измерений m (дается в специальных таблицах).

Таким образом, степень надежности определения n по формуле (5) зависит в основном от числа m предва­рительных испытаний.

При решении различных задач часто возникает не­обходимость сравнения какого-либо свойства разных материалов. При этом надо решить, имеется ли значи­мая разница между этими свойствами или их величины практически одинаковы с учетом ошибки определения и числа измерений. Иногда число измерений не учитыва­ют, что приводит,к неверным выводам. Например, считают незначимой разницу между = 10 и = 12, по­скольку >2. На самом деле разница между средними может быть значимой, если n было достаточно большим.

Сравнение двух средних значений можно проводить с помощью различных статистических критериев. Пусть у нас имеются два средних — и , определенных по результатам n ₁ и n ₂ измерений со средними квадратичны­ми отклонениями s _r и s ₂, соответственно. Если объеди­нить все измерения в одну выборку, то среднее квадра­тичное отклонение единичного значения будет

Если при использовании t -критерия Стьюдента

(6)

то оба ряда измерений относятся к одной генеральной совокупности и, следовательно, разница между средни­ми значениями свойства незначима. Если же левая часть в уравнении (6) больше правой, то различия между средними не случайны (конечно, с какой-то доверитель­ной вероятностью а, которая определяет и значение t -критерия).

Список литературы

1. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. Изд. 2-е. М., Оборонгиз, 1952. 555 с. с ил.

2. Шапошников Н. А. Механические испытания металлов. М.— Л. Машгиз, 195J, 383 с. с ил.

3. Степнов М. Н. Статистическая обработка результатов механи­ческих испытаний. М., «Машиностроение», 1972. 232 с. с ил.

Поиск по сайту: