Случайная страница О проекте Полезные cсылки Последние публикации Контакты
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция	Функция распределения в-тей СВ и ее св-ва Читайте также: A.способ разделения веществ, основанный на различии в их коэффициентах распределения между двумя фазами Артерии. Морфо-функциональная характеристика. Классификация, развитие, строение, функция артерий. Взаимосвязь структуры артерий и гемодинамических условий. Возрастные изменения. Биологическая функция В. Дисфункция кардиостимулятора и аритмии Верными являются высказывания:А) Функция распределения случайной величины не убываетВ) Функция распределения дискретной случайной величины разрывная, ступенчатая Влияние распределения шумов по спектру (форма кривой спектральной плотности) на скорость передачи информации. Вопрос 11. Понятие о воображении, его функциях и видах. Вывод справки по функциям. Г) Пробуждение благодаря сновидению. Функция сновидения. Сновидения страха. Газотранспортная функция эритроцитов Гамма - распределения наработки до отказа объектов. Генеративная функция яичников Овогенез Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения. Функция распределения случайной величины Х, называется функцией аргумента х, что случайная величина Х принимает любое значение меньшее х (Х<х) F(х)=Р(Х<х) F(х) - иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. 0<F(х)<1 2. если х1>х2,то F(х1)>F(х2) 3. функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.С помощью функции распределения легко находится вероятность попадания величины на участок от α до β Р(α<х<β) рассмотрим 3 события А - α<Х,В - α<Х<β,С - Х<β.С=А+В,Р(С)=Р(А)+Р(В), Р(α<х<β)=Р(α)-Р(β) Ее график – кусочно- постоянная ф-ция, скачки кот-й в точках разрыва x=xk равны вер-тям pk:
14.Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной СВ, их свойства. Мат. Ожидание дискретной СВ определяется так: МХ=Σxkpk И имеет смысл среднего значения СВ. Если число значений СВ конечно и равно n, а вероятность, то МХ совпадает с обычным средним значением величин x1, x2,…, xn: МХ=1/n Σхk Мат. ожидание обладает следующими свойствами: 1)MC=C, где C=const 2)M(CX)=C*MX, где С=const 3)M(X+-Y)=MX+-MY, для любых Х и У 4)M(X*Y)=MX*MY, если Х и У независимы. 5)M(X-MX)=0   15. Дисперсия(для оценки средней СВ вокруг ее среднего значения) – называется мат.ожидание квадрата разности X-MX: DX=M(X-MX)2=Σ(xk-MX)2pk DX=MX2-(MX)2 Свойства дисперсии 1)DC=0, где C=const 2) D(CX)=C2DX, где С=const 3)D(X+-Y)=DX+-DY, если Х и У независимы. Величина σX=кореньDX называется средним квадратическим отклонением и также является мерой рассеивания СВ Х. 16.Биноминальный закон распределения и его числовые характеристики. З.распределения ДСВ,опред.формулой Бернулли: pm=Pn(m)=Cnmpmqn-m, m=0,1,2,…n называется биномиальным.Здесь n и p –параметры распределения. q=1-p. Биномиальный закон распределения ДСВ можно представить в виде таблицы: x 0 1 … m … n p qn C1npqn-1 … Cnmpmqn-m … pn сумма pn=1 M(X)=np; D(X)=npq; σ (Х)= (npq)1/2.   18.Геометрическое распределение. О: Геометрическим распределением называется распределение ДСВ X определяемое формулой P(X=m)=(1-p)m-1*p, 0<p<1, m=1, 2, 3…Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1-p (с этим связано название). M(x)= D(x)= Гипергеометрическое распределение.К гипергеометрическому распределению приводит следующая задача: пусть имеется N элементов,из которых Mэлемент облад.некоторым признаком А стандартных (M≤N). Извлекаются наугад n элементов. Пусть X дискретная случайная величина, число m – стандартные из n отобранных. Очевидно, что возможное значение X=0,1,2… min{M, n}. Вероятность того, что X примет значение m, т.е. среди n отобранных m стандартных выражается формулой:P(x=m)=CMmCn-mN-M/CNn M(x)=n*M/ND(x)=n	19.НСВ,плотность распределения в-тей непрерывной СВ и ее св-ва. НСВ – случ.вел., к-рая м. принимать все знач-я из нек-рого промежутка.Примеры НСВ:диаметр детали,рост человека и т.д.В-ть любого отдельного взятого значения НСВ равна 0: Р(Х=х1)=0. Следствие: Если Х-НСВ,то в-ть попадания СВ в интервал (х1,х2) не зависит от того,является этот интервал открытым или закрытым,т.е.: Р(х1<X<x2)=P(х1<=X<x2) =P(х1<X<=x2) =P(х1<=X<=x2)/ Если НСВ Х может принимать только значения в границах от a до b (где a и b некоторые постоянные),то функция распределения ее равна 0 для всех значений x<=a и еденице для значений x>b. Для НСВ: Р(х1<X<x2)=F(x2)-F(x1). Плотность в-ти р(х) НСВ Х называется производная ее функции распределения р(х)=F*(x). Св-ва:1) Область определения р(х), х принадлежит R, E(y) –область значений: р(х)>=0 2)   20.Математическое ожидание и дисперсия НСВ. Мат.ожидание НСВ Х принадлежащей (α;β) вычисляется по ф-ле: М(Х)=∫βαx*p(x)d(x), x принадлежит от – бескон.до + бескон.тогда М(Х)=∫+∞-∞x*p(x)d(x)-требуется абсолютная сходимость несобствен.инт-ла. Дисперсия НСВ Х принадлежащей (α;β) с плотностью в-ти р(х) наз.величина,вычисл.по ф-ле: D(x)=∫βα(x-a)2p(x)d(x), a=M(X), а если x принадлежит от – бескон.до + бескон.тогда D(x) =∫+∞-∞(x-a)2p(x)d(x).   21.Равномерный закон распределения и его числовые характеристики. Называется распределение в-тей НСВ Х на отрезке [a;b] если р(х) этой величины постоянна на данном отрезке и равна 0 вне этого отрезка. Найдем с для этого воспользуемся св-ми р(х): Непр. случ. велич.х распред. равномерно на отрезк [а;b], если её плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и =0 вне его: 1/ (b-a), а< =х<=b Р(х)= { О, х<а, х>b Функция распред. случайн. величины, расп- ред-ой по равномерн. закону, имеет вид: O, x<=a F(x)= { (x-a)/(b-a), a<x<=b 1, x>b График р(х) иF(х)на рис Мат. ожидание и дисперсия равн. случ. величины: МХ=(а+b)/2; DХ=(b-а)(b-a)/ 12	27.Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Моментом n-го порядка Х по отн-ию к знач-ию а Mn(a)=M(X-a)n, а=0-начальный момент ύn ф=Ь(Ч)-центральный μn Для ДСВ: ύn= Для НСВ: ύn= Можно показать что справедлива формула: μn= μ2=ύ2-ύ12 μ3=ύ3-3ύ2 ύ1+2ύ12 μ4=ύ4-4ύ1 ύ3+6ύ12 ύ2-3ύ14 На практике при изуч. распределения отличного от норм. необх. колич. оценить эти различия для этого вводятся вспомог.числ. хар-ки ассиметрия и эксцесс.Центр. момент 3-го порядка μ3 характ-ет отклонение распределения СВХ от симметрии относит. мат.ожид.За меру этого отклонения берут число: α = μ3/σ3(х)-коэф.ассиметрии. Ассиметрия всех распред-ий графики которых симметр. относит.прямой х=а=М(х) равна 0. Центр.момент 4-го порядка μ4 служит для хар-ки крутости распред-ия СВ Х по сравнению с крутостью распред-ия НСВ с мат.ожид.и дисп. такими же как и у Х.За меру этой крутости берут число: χ = [ μ4/σ4(х) ] -3   17.Формула Пуассона.Распределение Пуассона.Если число испыт.велико,а вероятн.появл.события р в каждом испыт. очень мала,то вместо формулы Бернулли испю прибл.форм.Пуассона где λ=np-параметр. M(X)=λ D(X)=λ σ (Х)=корень из лямда. Т.к. для распред. Пуассона вер-ть появления события в каждом испытании мала то его еще назыв. з-н распред. редких явлений.	22.Показательный закон распределения и его числовые характеристики. Непрерывная СВ Х имеет показ. (экспоненциальное) распределение с параметром λ >0, если ее плотность распред-я имеет вид: Непрерывная СВ Х имеет показ. (экспоненциальное) распределение с параметром λ >0, если ее плотность распред-я имеет вид: Ф-ция распределения СВ, распределенной по показ. з-ну:   Показательному распределению обычно подчиняется величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств, другими словами – величина промежутка времени между появлениями двух послед-х редких событий. Вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)     24. Вероятность отклонения от седнего и вероятность попадания на промежуток для номальной СВ. Вероятность того, что отклонение СВ Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна Вероятность попадания значений нормальной СВ Х в интервал [ ] пределяется формулой   25,«Правило трёх сигм»: При решении многих важн.задач делают предполож.,что СВ распредел. по нормальн.закону. Отсюда вытекает, что среди 10000 значений НСВ в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений Х нет таких, кот. выходят за пределы указанного интервала. Правило 3-х сигм часто применяется д/грубой оценки сигма: .	23.Нормальный закон распределения.Влияние параметров распределения на вид нормальной кривой. Влияние параметров а и σ на вид нормальной кривой.Нормальное распределение явл. одним из наиболее часто встречающихся. Играет большую роль в тер. вер., поскольку явл. Предельным законом, к к-ому приближаются все др. законы распределения.Док-но, что если знач. СВ возникают в результате большого числа независимых воздействий, ни одно из к-ых не превалирует над остальными, то результат этих воздействий явл. СВ, распределенной по нормальному закону почти всегда.По нормальному закону распределены:случайные ошибки измерения,лин. размеры деталей при массовом пр-ве,биометрические показатели лиц определенного возраста,отклонения в результате хим., спектральных и других анализах. Говорят, что непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ, если ее плотность распределения имеет вид -(x- a)2/2σ2 f(x)=(1/σ√2π) e Определение корректно, т.к.: -∞∫+∞f(x)dx=1 M(X)= -∞∫+∞xf(x)dx=a σ (X)= -∞∫+∞(x-M(X))2f(x)=σ2 Для геометрической интерпретации параметров а и σ исследуют поведение ф-ии -(x-a)2/2σ2 f(x)=(1/σ√2π) e график к-ой наз. нормальной кривой. График симметр.относит.а При изменении параметра а форма кривой не меняется, а ее график сдвигается влево или вправо. При изменении параметра σ меняется форма нормальной кривой: с увеличением параметра σ кривая должна приближаться к 0Х и растягиваться вдоль этой оси, а с уменьшением σ кривая стягивается к прямой х=а.
30 Неравенство Маркова. Маркова неравенство– неравенство, дающее возможность оценить производную многочлена на некотором отрезке, если известна оценка для самого многочлена на этом отрезке. Если многочлен Pn (x) степени n на отрезке [–1; 1] удовлетворяет условию то на этом отрезке справедливо неравенство 31.Неравенство Чебышева. Следствия. Первая форма неравенства Чебышева.Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания, а произойдет по абсолютной величине постоянное число Е>0, не больше , т.е. . (61) Вторая форма неравенства ЧебышеваВероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания, а не произойдет по абсолютной величине постоянного числа Е>0, не меньше , .	36.Построение дискретного вариационного ряда.Эмпирическая функция распределения и ее св-ва. Если признак Х-дискретный,то среди вариантов будут повторяющиеся и в этом случае вариационный ряд можно записать в виде: х x1 x2 ….xn m m1 m2 ….mn m-частота х. Стат. распред-ем наз. перечень вариант и соотв. им частот, или относит. частот. Стат. распред. можно изобр. гарфически. Для этого на Ох наносят xi, а на Оу – частоты mi. Соединив точки частот, получим ломаную, кот. наз-ся полигоном распред-я. В завис-ти от того, какие знач. принимает признак стат. распред., вариац. ряды дел. на Дискретные (варианты приним. конкр. значения) и Интервальные (варианты изменяются непрерывно в некот.интервале). Эмпирическая функция распределения.Пусть известно статистическое распределение (или статистический ряд) количественного признака А; nx – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x, т.е. А< x; n – общее число наблюдений (объём выборки). Тогда относительная частота события А< x есть nx/n. При изменении x меняется и nx/n, т.е. относительная част. nx/n является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (т.е. опытным) путём, то её называют эмпирической. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция определяющая для каждого значения x  R относительную частоту события А x. В этой ф-ле nx – число вариант, меньших x, поэтому для расчетов удобна ф-ла вида .	37.Построение иетнрвального вариационного ряда.Гистограмма частот и относительных частот. При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы (разряды, интервалы), представляя результаты опытов в виде инт-ого стат-о ряда. Для этого весь диапазон знач-й СВ Х(от x min до x max) разбивают на k интервалов одинаковой длины h (обычно k меняется от 5 до 20). Число инт-в рекомендуют брать согласно ф-ле Стерджеса k Х13,93Хln n Затем подсчитывают частоты ni (или относит. частоты Х i ) зн-й выборки, попавших в выделенные инт-ы. Величина ni/h называется плотностью частоты, а Х i/h – плотностью относ-ой частоты. Пусть xi *– середина i -го инт-а, ni – число элем-в выборки, попавших в i -й интервал (при этом элем-т,совпавший с верхней границей инт-а, относится к последующему инт-у). Таким образом, получим группированный стат-й ряд, в верхней строке кот-о записаны середины соотв-щих интервалов xi*: xi  x 1 x 2… xk  ni n 1 n 2 … nk. Для граф-о представления инте-х стати-х распред-й принято исп-ть гистограмму относ-х частот. Гистограммой относ-х частот инте-о стат-о ряда называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на инт-х группировки длины h и высоты  i/h так, что площадь каждого прямоугольника равна относ-й частоте i. Для построения гистограммы отно-х частот на оси абсцисс откладывают частичные инт-ы, а над ними проводят отрезки длиной  i/h параллельно оси ординат. Очевидно, площадь i -го частичного прямоугольника равна  i – отн-й частоте вариант, попавших в i -ый интервал. След-но, площадь гистограммы отно-х частот равна сумме всех относ-х частот ( т. е. равна 1), а площадь гистограммы частот равна объему выборки n.	-39.Выборочная средняя,выборочная дисперсия и их св-ва. Ср-я ариф-я (мат. ожидание) изучаемого признака х в генер. совок. наз-ют генеральн. средн. и обознач. , где N-генер.совок.=М1+М2+…+М l, где l- кол-во знач. признака x. Mi (i=1; l) – частота, с кот. встреч. Знач-е признака хi в генер. совок. Ген-й средней x называют сре-е ар-ое знач-й признака ген-ой сов-сти. Если все значения x 1, x 2,…, xN признака ген-ой сов-сти объёма N различны, то . Если же знач-я признака x 1, x 2,…, xk имеют соотв-но частоты М1,М2,…,М k, причём , то , т.е. ген-я ср-я есть ср-я взвешенная знач-й признака с весами, равными соотв-им частотам. Ср. арифм в выборке – выборочная сре-я. ,т.е. выбор-я ср-я в x есть ср-е ариф-е знач-е признака выб-ой сов-сти. Св-ва средней арифм.: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . Дисперсия – это квадрат отклонения от средней величины. ,где N-генер.совок.=М1+М2+…+М l, где l- кол-во знач. признака x. Mi (i=1; l) – частота, с кот. встреч. Св-ва дисперсии: 1. , А=const; 2. .	-40.Точечное оценивание числовых характеристик СВ. Состоятельность,эффективность,несмещенность оценки.Исправленная выборочная дисперсия. Точечной называют статистическую оценку, определяемую одним числом Q* n = f (x 1, x 2,…, xn) (далее будем обозначать просто Q*), где x 1, x 2,…, xn – результаты n наблюдений (выборки) над количественным признаком x. К оценке Q * естественно предъявить ряд требований: 1. Желательно, чтобы, пользуясь величиной Q* вместо Q, не делалось систематических ошибок ни в сторону занижения, ни в сторону завышения, т.е. чтобы выполнялось равенство M (Q *) =Q. (2.1) Оценка, удовлетворяющая условию (2.1), называется несмещённой. Несмещённой называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки. Требование несмещённости оценки особенно важно при малом числе испытаний. Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру Q. 2. Желательно, чтобы с увеличением числа n опытов значения случайной величины Q * концентрировались около Qвсё более тесно, т.е Q *→Q при n→∞ или limP(│Q *- Q│)<ε)=1 (2.2) Оценку, обладающую свойством (2.2), называют состоятельной. Если оценка Q* параметра q является несмещенной, а ее дисперсия D (Q *)→0 при n →∞., (2.3) то оценка Q * является и состоятельной. Это непосредственно вытекает из неравенства Чебышева P(│Q *- Q│)<ε)>=1- D (Q *)/ ε2 3. Если Q*1 и Q*2 – различные несмещённые оценки параметра Q, то оценка Q*1называется более эффективной, чем оценка Q*2, если D Q*1<D Q*2 (2.4) Поэтому разумно самой эффективной оценкой назвать оценку, на которой достигается min D. Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объёме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию. Часто пользуются исправленной выборочной дисперсией или эта оценка явл. несмещенной оценкой генер. дисперсии.
40.Интервальные оценки числовых характеристик СВ.Доверительная в-ть.Доверительный интервал. Формула доверительной в-ти (определяет в-ть отклонения средней выборки от средней ген-й): , , - сре-е квадрат. отклонение генер. совок., n- объем выборки. В-ть и наз. доверительной в-тью. Число наз. точностью вероятности. Из первой ф-лы следует, что сред. генеральное содержится в интервале с вероятностью , которую находят по таблице ф-ции Лапласа . Инт-л наз. доверительным инт-лом для . Введя обозначение и с учетом интервальная оценка для ср-й ген-ой имеет вид: - для повторной выборки. Для бесповторной выборки , а доверительный интервал для бесповторной выборки имеет вид: .     41.Статистическая проверка гипотез. Критерий проверки, ошибки первого и второго рода, критическая область. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ - система приемов в математической статистике, предназначенная для проверки соответствия опытных данных проверяемой гипотезе. К проблеме статистической проверки гипотез приводит большое число связанных с экспериментом вопросов, возникающих в приложениях, напр. сравнение урожайности сортов каких-либо сельскохозяйственных культур, эффективности лекарственных препаратов и др. Правило, по которому принимается или отклоняется данная гипотеза, называют статистическим критерием.При проведении экономико-статистических исследований в первую очередь приходится решать задачи статистической проверки гипотез о: 1) принадлежности «выделяющихся» единиц исследуемой выборочной совокупности генеральной совокупности; 2) виде распределения изучаемых признаков; 3) величине средней арифметической и доли; 4) наличии и тесноте связи между изучаемыми признаками; 5) о форме корреляционной связи.1)Ошибка первого рода – проверяемая гипотеза (ее обычно называют нулевой гипотезой и обозначают Н0) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от нее; 2) Ошибка второго рода – проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к ее принятию.Правило, по которому проверяется гипотеза, называется статистическим критерием. В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез.критическая область – это совокупность значений статистики критерия, которые “говорят”, что нулевую гипотезу следует отвергнуть. Выделяют три вида критических областей: Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами , где находят из условий . Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где x α находят из условия P (φ < x α) = α. Правосторонняя критическая область определяется интервалом , где x 1 − α находят из условия P (φ < x 1 − α) = 1 − α.	38.Точечные оценки параметров генеральной совокупности. Средняя арифметическая и ее свойства. . Точечные оценки параметров генеральной совокупностиОценка параметра — определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т. е. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания)служит выборочная средняя. Генеральная дисперсия имеет две точечные оценки: — выборочная дисперсия, которая исчисляется при н 30; S^2 — исправленная выборочная дисперсия, которая исчисляется при n < 30. Причем в математической статистике доказывается, что При больших объемах выборки и S^2практически совпадают. Смещенной оценко й генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия. Генеральное среднее квадратическое отклонение также имеет две точечные оценки: — выборочное среднее квадратическое отклонение и S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. используется для оценивания при п 30, a S для оценивания при п < 30; пpи этом Св-ва средней арифм:1.Сумма отклон-й индивид знач-й признака от его среднего знач-я равна нулю.2. Если каждое индивид знач призн умнож или раздел на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.5. Сумма квадр-в отклон-й индив значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.     43.Модели и основные понятия регрессионного анализа. Задачирегрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной. Функ-ная зависимость м-ду величинами X и Y - каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное зн-е другой. Стат-й называют зависимость, при которой изм-е одной из величин влечет изм-е распределения другой. Стат-ая завис-ть проявляется в том, что при изм-и одной из величин изм-ся ср-е знач-е другой. Корреляционной (или регрессионной) завис-ю м-у двумя переем-и величинами наз-ся функ-я зависимость между знач-и одной из них и усл-м матем-м ожиданием другой. Усло-е мат-ое ожидание Mx (Y) СВ Y есть функция от x: Mx (Y)  f (x), которую называют функ-й регрессии Y на X. Корреляционной зави-ю Y от X наз-ся функ-ая зависимость условной средней x от x. Уравнение y  f  x наз-ся ур-м регрессии Y на X. Функция f  x наз-ся регрессией Y на X, а ее график – линией регрессии СВ Y на СВ X. Осн. задачи теории корреляции: 1. Установл. формы корреляционной связи; 2. Оценка тесноты корреляционной связи Y от X, кот. оценивается велич-й рассеяния знач-й Y около Yx. Большое рассеяние означает слабую зав-ть Y от X либо вообще отсутствие таковой. Малое рассеяние указывает на сущ-ие достаточно сильной зав-и Y от X. Важной с точки зрения приложений является ситуация, когда обе функции регрессии f (x), y явл-ся лин-и. Тогда говорят, что СВ X и Y связаны лин-й корр-ой зав-ю (линейной корр-й).     39.Дисперсия вариационного ряда и ее свойства. Исправленная выборочная дисперсия. интервальный вариационный ряд Характеризует распределение единиц совокупности по количественному признаку, величина ко- торого может принимать в определенных пределах любые значения, отличающиеся друг от друга на сколь угодно малую величину. После определения исследуемого признака, необходимо решить вопрос о количестве групп (ин- тервалов), на которые надо разбить выборку.Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённая: ,и .	45. Коэффициента линейной корреляции и его св-ва. - корреляционный момент (ковариация), где K (X, Y) = M {[ X  M (X)][ Y  M (Y)]} Две случ-е величины X и Y наз-ся коре-ванными, если их коэф-нт корр-и отличен от нуля. СВ X и Y наз-ся некорр-ми, если их корр-ый момент равен нулю. выборочный коэф. коррел. Свойства коэф-та корр-и: 1. Коэф-нт корр-и принимает значения на отрезке [1;1], т.е. 1 1 в 1<= r <=1; 2.Если все знач-я переем-х ув-ть (ум-ть) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина выб-го коэф-а корр-и не изм-ся. 3.При 1 r = ±1 корр-ая связь представляет лин-ую функ-ую завис-ть. При этом линии регрессии Y на X и X на Y совпадают, все наблю-ые знач-я распол-ся на общей прямой. 4.Если с ростом знач-й одной СВ знач-я второй возрастают, то 0 в r >, если убывают, то 0 в r <. 5.При 0 в r = линейная корр-ая связь отс-ет, групп-ые ср-е переем-х совпадают с их общими ср-ми, а линии регрессии Y на X и X на Y паралл-ы осям коор-т. Выб-й коэф-нт корр-и r явл-я оценкой ген-го коэф-а корр-и 35.Предмет и метод МС. МС – раздел мат-ки, изуч. методы сбора, систематизации и обработки результатов набл-й с целью выявления статистических закономерностей. Оперирует непосредственно с результатами наблюдений над случ. явлением. Задачи МС: 1.указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов; 2.разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Осн. задача МС сост. в получении выводов о массов. явлениях по данных наблюдения за ними. МС опирается на ТВ. Ее цель-оценить характер-ки генер. совок-ти по выборочным данным. Генеральная и выборочная совокупности.Способы отбора. Вся подлежащая изучению совокупность предметов называется генеральной совокупностью. В статистике различают два вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности и несплошное (выборочное), когда изучается только часть объектов.Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генер. совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой. Кол-во объектов генер. или выбор. совокуп-ти называют объемом. Сплошное набл. применяют когда объем генер. совок. небольшой. Результаты исследования некот. признака генер. совок-ти будут более достоверными, если выборка образовано случайно (элементы берутся наугад и каждый из них может быть отобран с одинаковой вероятностью. Бесповторная выборка – из генер. совок-ти элементы извлекаются и не возвращаются обратно. Если после извлечения элементов из совок-ти они фиксируются и возвращаются обратно – повторный отбор.     33.Теорема Бернулли. Закон больших чисел в форме Бернулли и его значение. Теорема Бернулли: Если вер-ть наст-я соб-я А в каж-м из n повторных нез-х испыт-й пост-на, то при неогран-м увел-ии числа n исп-й отн-я частота наст-я соб-я А стрем-ся по вер-ти к числу p, т.е. для >0 Т-ма Б-ли явл-ся теор-ким обосн-ем для стат-го опр-я вер-ти. Неравенство Бернулли: Пусть n исп-й Бернулли с вер-ю успеха p, q=1-p и m – число успехов. Тогда для >0 Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли (13): Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е. (55) иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А). Мы говорили (см. § 1, п. 1), что при большом числе испытаний частота Р*(А)=m/n события А обладает свойством устойчивости. Это обстоятельство находит свое объяснение в законе больших чисел Бернулли.	28.Функция распределения, плотность распределения двумерной случайной величины и их свойства. Закон распределения составляющих. Функцией распределения F (x, y)двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y: F (х, у) = p (X < x, Y < y). (8.1) Рис.1Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина прямого угла располагается в точке (х, у).Плотностью совместного распределения вероятностей (двумер-ной плотностью вероятности)непрерывной двумерной случайной величины называ-ется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения: . (8.2) Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δ х и Δ у к площади этого прямоугольника при Свойства двумерной плотности вероятности.1) f (x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен). 2) (cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти). 3) (поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость О ху, то есть достоверного события).Условной плотностью φ(х / у)распределения составляющих Х при данном значении Y = у называется . Аналогично определяется условная плотность вероятности Y при Х = х . 34.Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях. Мы приведем без доказательства вариант ЦПТ для независимых одинаково распределенных слагаемых. Центральная Предельная Теорема 1 Пусть -- последовательность независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией. Обозначим и . Тогда где -- функция распределения стандартного нормального закона.     32. Теорема Чебышева. (Закон больших чисел) Имеется последовательность случайных величин X1, X2, X3, …, Xn, … Независимы и одинаково распределены со средними MXi = a и дисперсиями DXi = DX, то справедлива теорема Чебышева: Из этого неравенства при n → ∞ следует закон больших чисел: Смысл закона больших чисел заключается в том, что средние значения случайных величин стремятся к их математическому ожиданию при n → ∞ по вероятности. Отклонение средних значений от математического ожидания становится сколь угодно малым с вероятностью, близкой к единице, если n достаточно велико. Другими словами, вероятность любого отклонения средних значений от а сколь угодно мала с ростом n.	26.Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины. 1) Распределение N (0;1) наз-ся станд-ным нормальным..Для стандартного распред-я плотность вер-ти равна: , а ф-я распред-я . Ф-я Лапласа и ф-я распред-я НСВ Х с параметрами связаны соотнош-м: . 2)Получим формулу д/вычисления вер-ти попадания НСВ с параметрами в задан. интервал(α;β) через стандарт-е распред-е :   3)3σВер-ть того, что НСВ отклоняется от своего мат.ожид-япо модулю меньше, чем ε>0, определяется формулой . Если положить , то получим . Отсюда вытекает, что среди 10000 значений НСВ в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений Х нет таких, кот. выходят за пределы указанного интервала. Правило 3-х сигм часто применяется д/грубой оценки сигма: . 29. Двумерное нормальное распределение. Случайная величина распределена по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид Двумерный нормальный закон определяется параметрами , , , , , которые имеют смысл: Теорема: если то величины X и Y являются некоррелированными. Если две нормальные величины некоррелированы, то они независимы. В общем случае это утверждение неверно.   32.Теорема Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева и его значение. Если случайные величины Хi, i=1,2…,n, независимы и одинак. распределены со средними МХi =a и дисперсиями DXi =DX, то справедлива теорема Чебышева: n P(|1/n сумма (Xi) - a | <= e) >= 1- DX/ne*e i=1 Из этого неравенства при n стр-ся к беск-ти следует закон больших чисел n limP(|1/n сумма (Xi)- a| <=e)=1 n-& i=1 Смысл закона закл. в том, что средние значения случайных величин стремятся к их мат. ожиданию при n- & по вероятн. Отклонение средн. значений от мат.ожидания стан-ся сколь угодно малым с вероятностью, близкой к 1, если n достаточно велико или вероятность любого откл. средн. знач. от а сколь угодно мала с ростом n. (e – это эпсилон.) 42.Критерий согласия Пирсона о законе распределения случайной величины.Критерий Пирсона, или критерий χ2 — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H 0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F (x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

1. Случ. события, их классиф.

2. Классич, статистич и геометрич определ вероятн

3. Элем комбина: размещ, перестан и сочетан

4. Теоремы сложения и умножения вероятн

5. Зависим и независим событ. Условн вероятн. Теор умнож вероятн

6. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

7. Формула полной вероятности и формула Байеса. +

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернул

9. Наивероятн число появления события.

10. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа +

11. Теорема Пуассона+

12. Понятие дискретной случайной величины и ее закона распределения

13. Функция распределения случайной величины и ее свойства.

14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

15. Дисперс дискретн случ велич и ее свойства. Средн квадратичное отклон

16. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики. +

17. Закон Пуассона и его числ характер. Простейш поток событий. +

18. Геометрич и гипергеометрич распредел и их характеристики.

19. Плотность распредел вероятн непрер случ велич и ее свойства. +

20. Мат ожидание и дисперсия непрерывной СВ. +

21. Равномерный закон распределения и его числовые характер. +

22. Показательный закон распределения и его числовые характе. +

23. Нормальный закон распределения, его параметры и их вероятностный см.

24. Вероятн попада нормально распредел СВ в заданный интервал

25. Правило трех сигм и его значение для практики. +

26. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной СВ.

27. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. +

28. Ф-ияраспредел, плотность распределения двумерной СВ и их свойства.

29. Норм закон распределения двумерной СВ. +

30. Неравенство Маркова. +

31. Неравенство Чебышева. Следствия. +

32. Теорема Чебышева и ее следствия. +

33. Теорема Бернулли. Значение закона больших чисел. +

34. Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях.

35. Предмет и задачи мат стат. Генеральная и выборочная

36. Построение дискретного вариац ряда.

37. Построение интервального вариационного ряда.

38. Точечные оценки параметров генеральной совокупности..

39. Дисперсия вариационного ряда и ее свойства

40. Интервальные оценки параметров. Доверительный интервал. +

41. Основные понятия статистической проверки гипотез. Гипотезы и критерий проверки,

ошибки первого и второго рода, критическая область. +

42. Критерий согласия Пирсона о законе распределения случайной величины. +

43. Модели и основные понятия регрессионного анализа.

44.Нахождение параметров линейного уравнения регрессии методом наим квадратов.

45. Коэффициент линейной корреляции случайных величин и его свойства. +

Поиск по сайту: