Гамма - распределения наработки до отказа объектов

Наряду с нормальным законом распределения отказов на практике имеют место отказы, подчиняющиеся гамма – распределению. Данный закон имеет вид:

(1.23)

Исходные данные:

Таблица 4. – Статистический материал.

Расчет будем вносить в таблицу 5. По данным таблицы 4 находим максимальное значение – 700 000 км, округляем максимальное значение до 695 000 км, число интервалов k принимаем за 10 и находим ширину интервала в натуральных единицах измерения:

Δl = максимальное значение/ k; (1.24)

Δl = 700 000/10 = 70 000 км.

Производим разбиение исходных данных на интервалы с шириной интервала

Δl = 70 000 км и k = 10.

Рассчитываем по формуле (1.4) и (1.5):

,

.

Математическое ожидание и дисперсия для данного закона рассчитываются по формулам (1.6), (1.7):

,

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

Далее переходим к натуральным величинам по формулам (1.8),(1.9)и (1.25):

,

. (1.25)

Получаем:

.

Далее необходимо найти параметры закона, входящие в уравнение для чего необходимо решить систему уравнений (1.26):

(1.26)

Систему уравнений решаем методом деления, в результате получаем:

Принимаем тогда величина определится по формуле:

(1.27)

Получаем: .

Записываем формулу гамма - распределения для нашего случая:

(1.28)

Находим значения функции для рассматриваемых интервалов для построения вида гамма – распределения. Расчет производится аналогично, что и в 1.1, результаты расчета сведены в таблицу 5.

Доверительный интервал рассчитывается по формуле:

(1.29)

где .

Рисунок 4. –Теоретическое и эмпирическое гамм - распределения наработки до отказа.

Аргумент функции для гамма – распределения рассчитываем по формуле:

(1.30)

Значения функции для гамма - распределения находим по таблице-приложении П. 29, значения заносим в таблицу 5.

Правильность расчетов проверяем по величине (1.14):

.

Табличное значение критерия согласия находим из условия .

Получаем: , где

По таблице 5 видно, что расчетный коэффициент согласия больше табличного, значит наши расчеты, неверны: , .

Параметрический метод:

Вероятность безотказной работы определяем по формуле:

, (1.31)

где - значения функции для гамма – распределения по таблице П. 2.9.

Интенсивность отказов рассчитываем по выражению:

, (1.32)

где - значения функции для гамма – распределения по таблице П. 2.8.

Средняя наработка рассчитывается по формуле

(1.33)

Непараметрический метод:

Расчет производится по формулам (1.19) – (1.21), аналогично нормальному закону.

Результаты расчета сводим в таблицу 6. По данным таблицы 6 строим характеристики (рисунок 5,6).

Таблица 6. - Результаты расчета параметрическим и непараметрическим методами.

Рисунок 5.

Рисунок 6.

Ряд 1. – параметрическая зависимость;

Ряд 2. – непараметрическая зависимость.

Область наихудшей сходимости для вероятности безотказной работы (280000 –350000):

.

Интервал наихудшей сходимости для интенсивности отказов (560000–630000):

Область наилучшей сходимости для вероятности безотказной работы (630000 – 700000):

.

Интервал наилучшей сходимости для интенсивности отказов (490000–540000):

Таблица 5. – Определение закона распределения наработки до отказа.

№ интер-вала j	Δ l, 103 км	lj , 103 км				Начальный статический момент	Аргумент функции для гамма - распределения	Значение функции для гамма- распределения	Pj	nPj	χ2j	f (l) Δl
ν1xj	ν2xj	tн	tк	Р(tн)	Р(tк)
	0 – 70		-4		0,04	-0,16	0,64		1,62134		0,953	0,047	4,7	0,10	0,04
	70 – 140		-3		0,12	-0,36	1,08	1,62134	3,24268	0,953	0,783	0,17		1,47	0,18
	140 – 210		-2		0,13	-0,26	0,52	3,24268	4,86402	0,783	0,38	0,403	40,3	18,49	0,22
	210 – 280		-1		0,16	-0,16	0,16	4,86402	6,48536	0,38	0,38			0,00	0,19
	280 – 350				0,12			6,48536	8,1067	0,38	0,238	0,142	14,2	0,34	0,14
	350 – 420				0,16	0,16	0,16	8,1067	9,72804	0,238	0,0404	0,1976	19,76	0,72	0,09
	420 – 490				0,09	0,18	0,36	9,72804	11,34938	0,0404	0,0174	0,023	2,3	19,52	0,06
	490 – 560				0,07	0,21	0,63	11,34938	12,97072	0,0174	0,0273	0,0099	0,99	36,48	0,03
	560 – 630				0,07	0,28	1,12	12,97072	14,59206	0,0273	0,02516	0,00214	0,214	215,19	0,02
	630 - 700				0,04	0,2		14,59206	16,2134	0,02516	0,02302	0,00214	0,214	66,98	0,01
Σ						0,09	5,67							359,29

Поиск по сайту: