Нормальный закон распределения наработки до отказа объектов

Для определения вида закона распределения и для расчета оценок и параметров на основе данных об отказах в данной работе применяется метод моментов.

Исходные данные:

Таблица 1. – Статистический материал.

По данным таблицы 1 находим максимальное значение – 778 000 км, округляем максимальное значение до 800 000 км, число интервалов k принимаем за 10 и находим ширину интервала в натуральных единицах измерения:

Δl = максимальное значение/ k; (1.1)

Δl = 800 000/10 = 80000 км.

Производим разбиение исходных данных на интервалы с шириной интервала

Δl = 80000 км и k = 10.

Разложив в порядке возрастания наработки до отказа n объектов, получаем вариационный ряд, затем подсчитываем число случаев m_j попадания пробега до отказа в каждый j – й интервал. Для обработки больших массивов данных высокого порядка целесообразно провести кодирование измерения пробега условной единицей, связанной с натуральным показателем уравнением (ключом):

(1.2)

где l_j – значение пробега для середины j – го интервала;

Δl – ширина интервала в натуральных единицах измерения наработки;

x_j – условная единица измерения пробега.

Частота отказов (частость) в j – м интервале пробега определяется по формуле:

(1.3)

где m_j – число попаданий значения пробега до отказа в j – й интервал;

n – общее число объектов.

Начальные статические моменты рассчитываются по формулам:

, (1.4)

. (1.5)

Математическое ожидание и дисперсию можно связать с начальными статистическими моментами по формулам:

, (1.6)

. (1.7)

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

m_x = 0,6

ν_2xj =5,56

Далее переходим к натуральным величинам по формулам:

, (1.8)

. (1.9)

m_l = 360 000 + 0,6 · 80 000 = 408 000 км

σ_l = 2,3 · 80 000 = 182 428 км

Нормальный закон (1.10)

Исходя из выше записанных данных нормальный закон распределения для данного статистического материала выглядит так:

Для нормального закона определяем доверительный интервал по формуле:

, (1.11)

где , - коэффициент значимости (принимаем равным 0,05)

=100-1=99.

Величина принимается для всех трех законов одинаковой.

В результате получаем интервал:

Наносим данный интервал на рисунок 1.

Аргумент функции Лапласа рассчитывается по формуле:

, (1.12)

где - соответственно начало и конец принятого интервала.

Для 1-го интервала получим:

для второго и последующих интервалов повторяем операцию.

Значения функции Лапласа находим по таблице-приложении П.2.5. Статистическую вероятность отказа объекта по нормальному закону определяем по выражению:

(1.13)

Для 1-го интервала получим:

- по таблице П.2.5: Ф(-2,236498) = -0,48713; Ф(-1,797969) =-0,46327.

- по формуле (1.13): Р₁ = -0,46327- (-0,48713) = 0,0239;

- Р₁ = 0,0239 · 100 = 2,39.

остальные рассчитываются аналогично.

Полученные данные заносим в соответствующие колонки таблицы 2 и производим расчет для остальных интервалов.

Проверку правильности расчета и выбора закона распределения наработки до отказа производим по компонентам критерия согласия .

Требуется определить табличное и расчетное значения. Если , то закон выбран, верно.

Расчетное значение критерия согласия рассчитываем по формуле:

, (1.14)

Повторяем расчет для интервалов и заносим в таблицу 2, находим затем сумму всех этих значений.

.

Табличное значение критерия согласия находим из условия:

, (1.15)

где ;

- степень свободы.

Степень свободы в данном случае можно принять как

, где - количество параметров в законе (для нормального закона =2).

Для нашего случая получим: ,

.

Закон выбран, верно, т.к. , .

Рисунок 1. – Графики нормального теоретического и эмпирического распределения наработки до отказа.

Таблица 2. – Определение закона распределения наработки до отказа.

№ интер-вала j	Δ l,103 км	lj , 103 км				Начальный статический момент	Аргумент функции Лапласа	Значение функции Лапласа	Pj	nPj	χ2j	f (l) Δl
ν1xj	ν2xj	tн	tк	Ф(tн)	Ф(tк)
	0-80		-4		0,03	-0,12	0,48	-2,23650	-1,79797	-0,48713	-0,46327	0,0239	2,39	0,16	0,02
	80-160		-3		0,07	-0,21	0,63	-1,79797	-1,35944	-0,46327	-0,41149	0,0518	5,18	0,64	0,05
	160-240		-2		0,1	-0,2	0,4	-1,35944	-0,92091	-0,41149	-0,32121	0,0903	9,03	0,10	0,09
	240-320		-1		0,13	-0,13	0,13	-0,92091	-0,48238	-0,32121	-0,18439	0,1368	13,68	0,03	0,14
	320-400				0,15			-0,48238	-0,04385	-0,18439	-0,01595	0,1684	16,84	0,20	0,17
	400-480				0,16	0,16	0,16	-0,04385	0,39468	-0,01595	0,11735	0,1333	13,33	0,53	0,17
	480-560				0,14	0,28	0,56	0,39468	0,83321	0,11735	0,29673	0,1794	17,94	0,86	0,14
	560-640				0,11	0,33	0,99	0,83321	1,27173	0,29673	0,39796	0,1012	10,12	0,08	0,10
	640-720				0,06	0,24	0,96	1,27173	1,71026	0,39796	0,45637	0,0584	5,84	0,00	0,06
	720-800				0,05	0,25	1,25	1,71026	2,14879	0,45637	0,48382	0,0275	2,75	1,85	0,03
Σ						0,6	5,56							4,47

На основании расчётов, выполненных в предыдущих подразделах, показатели надежности определяют двумя методами: параметрическим, когда параметры закона распределения известны, и непараметрическим – когда не известны.

Для нормального распределения вероятность безотказной работы до первого отказа параметрически определяют по формуле:

, (1.16)

где F(l)=Ф₀ (t) – функция нормального распределения [П.2.3] и .

Интенсивность отказов при достижении наработки l:

, (1.17)

где φ₀(t)= φ₀(-t) - функция нормированного и центрированного распределения [П.2.4]:

. (1.18)

Средняя наработка до отказа: .

При непараметрическом методе используют статистические данные.

Вероятность безотказной работы P(l):

, (1.19)

где n(l) – число объектов, оставшихся исправными после наработки l.

Средняя наработка до отказа:

, (1.20)

где - середина j -го интервала наработки.

l_ср = 408000 км.

Интенсивность отказов:

, (1.21)

где - достаточно малый промежуток наработки. Рекомендуется принять равным интервалу наработки в табл. 1.

Относительная погрешность вычислений определяется соотношением:

,% (1.22)

где П_п и П_н – показатели, определенные параметрическим и не параметрическим методами соответственно.

Таблица 3. - Результаты расчета параметрическим и непараметрическим методами.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Ряд 1. – параметрическая зависимость;

Ряд 2. – непараметрическая зависимость.

Область наихудшей сходимости для вероятности безотказной работы (56480000 – 64560000):

.

Интервал наихудшей сходимости для интенсивности отказов (640000–720000):

Область наилучшей сходимости для вероятности безотказной работы (80000 - 160000):

.

Интервал наилучшей сходимости для интенсивности отказов (240000 - 320000):

Поиск по сайту: