Основне рівняння гідростатики

Розглянемо найбільш поширений випадок рівноваги рідини, коли вона знаходиться тільки під дією сили тяжіння. Тоді проекції одиничних масових сил на координатні осі будуть такими: Х=0, Y=0, Z=-g (координатну вісь Oz вважаємо напрямленою вверх), і рівняння поверхні рівного тиску (2.7) набуває вигляду:

Звідкіля

(2.8)

Таким чином, при рівновазі рідини в полі сил тяжіння поверхні рівня являють собою сім’ю горизонтальних площин. Однією з поверхонь рівного тиску буде і вільна поверхня рідини.

Визначимо тиск в довільній точці А об’єму рідини, що міститься в закритій посудині (рис.2.4) і знаходиться у стані спокою.

При X=0, Y=0, Z=-g основне диференціальне рівняння гідростатики (2.6) запишеться так:

Рис.2.4

Після інтегрування в припущенні r=const отримаємо:

,

(2.9)

де С -стала інтегрування.

Сталу інтегрування визначимо з граничних умов на вільній поверхні рідині в посудині, де z =z₀, p=p₀. Маємо:

і тоді ,

(2.10)

де h=z-z₀ – заглиблення точки А під вільну поверхню.

Це і є основне рівняння гідростатики, яке виражає залежність тиску в даній точці рідини в стані спокою від виду рідини і відстані точці від вільної поверхні.

В рівнянні (2.10) р - абсолютний тиск в даній точці рідини, р₀ - зовнішній абсолютний тиск на вільній поверхні рідини; - тиск стовпа рідини в даній точці. Всі складові рівняння мають розмірність тиску (ПА, кПА, МПА).

Основному рівнянню гідростатики можна надати іншого вигляду, якщо поділити всі його члени на ρg:

(2.11)

В цьому рівнянні складові мають лінійну розмірність (М).

Зв’язок між тиском, виражений в одиницях тиску (ПА), і тиском в лінійних одиницях (метрах стовпа рідини) дає загальна формула

(2.12)

У відкритих резервуарах, водоймищах тощо зовнішнім тиском на вільну поверхню рідини є атмосферний тиск (р_ат,, р_бар). В таких випадках рівняння (2.10) записують у формі

(2.13)

В техніці часто зустрічаються випадки, коли абсолютний тиск в даній точці рідини . Тоді величину називають надлишковим тиском:

Якщо , то надлишковий тиск називають манометричним тиском:

(2.14)

якщо то надлишковий тиск буде від’ємним і величину - називають вакууметричним тиском або вакуумом:

(2.15)

Рис.2.5

Гідростатичний закон розподілу тиску, виражений формулою (2.11), cправедливий для будь-якого положення координатної площини хОу. Цю площину називають площиною порівняння. Величина ,
де z – геометрична висота розташування точки над площиною порівняння, р – абсолютний тиск, називається гідростатичним напором і позначається через ; величину , в якій р – надлишковий тиск, називають п’єзомеричним напором і позначають через . Як виходить з формули (2.11) напори і є сталими для всіх точок даної маси рідини, що знаходиться в стані спокою.

Закон Паскаля

З основного рівняння гідростатики можна бачити, що при зміні зовнішнього тиску р_о на величину , тиск у всіх точках даного об’єму рідини змінюється на теж саме значення . Таким чином, рідина має властивість передавати тиск. В цьому і полягає закон Паскаля: тиск, який виникає на граничній поверхні рідини, що знаходиться в стані спокою, передається всім частинкам цієї рідини по всім напрямам без зміни його величини.

На законі Паскаля ґрунтується принцип дії різноманітних гідравлічних пристроїв, за допомогою яких тиск передається на відстань /гідравлічний прес, гідравлічний домкрат, гідромультиплікатор та інші./

2.5 Сила тиску рідини на плоску стінку.
Центр тиску

Визначимо силу тиску рідини на площину ω плоскої стінки, яка розташована під довільним кутом до горизонту. Розв’язання задачі зручно проводити в системі координат хОу, вісь Оу якої напрямлена вздовж стінки, а вісь Ох співпадає з лінією перетину стінки і вільної поверхні рідини. Для зручності вісь Ох повернута на кут 90⁰, (рис.2.6).

Очевидно що між будь – якою координатою у і глибиною занурення h існує зв’язок:

Сила тиску dР на довільну елементарну площину dω

де р_о – тиск на вільній поверхні рідини густиною ρ.

Повна сила тиску на площину w стінки:

Рис. 2.6

Інтеграл є статичним моментом площини W відносно осі Ох, величина якого дорівнює добутку ω на відстань її центра ваги до осі Ох тобто

Тоді

(2.16)

де h_с – глибина занурення центра ваги стінки площиною ω. Сила тиску самої рідини без урахування зовнішнього тиску p.

(2.17)

У випадку, коли плоска стінка горизонтальна і розміщена на глибині h,то h_c=h і

(2.18)

Якщо плоска стінка вертикальна α =90^о і h_c=y_c.

Досить часто в інженерних розрахунках важливо не тільки визначити величину сили тиску рідини, але й знайти точку прикладення її рівнодіючої – так званий центр тиску.

Для цього користуться теоремою Варіньйона: момент рівнодіючої сили дорівнює алгебраїчній сумі моментів сладових її. Відповідно до рис.2,6 можна записати

де у_d – координата центра тиску, Р=Р_{на д} – сила тиску рідини.

Тоді

(2.19)

Тут – момент інерції змоченої площини ω відносно осі Ох; у_сω – статичний момент цієї площини.

На підставі теореми про моменти інерції відносно паралельних осей /теорема Гюйгенса/

де I_c – момент інерції плоскої фігури відносно осі, що проходить через її центр ваги паралельно осі Ох, тому залежності (2.19) можна надати вигляду

.

(2.20)

Поиск по сайту: