Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси стержня

(с постоянным по длине сечением)

Деформация стержня при поперечном изгибе представляется в виде прогибов y (перемещений перпендикулярных недеформированной оси) и j поворотов поперечных сечений стержня. Считается, что поперечное сечение стержня после изгиба остается плоским и перпендикулярным изогнутой оси стержня, откуда следует, что . Принято следующее правило знаков: прогиб считается положительным, если направлен вверх; угол поворота считается положительным, если сечение поворачивается против часовой стрелки. Для всех последующих выкладок принята следующая система координат: ось стержня X (в недеформированном состоянии) направлена вправо, ось Y вверх.

Для жестких балок максимальные прогибы, которых малы по сравнению с длиной, следовательно, связь углов поворота с прогибами упрощается . Для определения перемещения в таких балках используется линеаризованное дифференциальное уравнение: , где - уравнение изогнутой оси стержня (кривая изгиба). В этом дифференциальном уравнении не учитываются перемещениями, связанными с деформацией сдвига (то есть с действием перерезывающей силы) в связи с их малости по сравнению с деформацией связанной с изгибом. Последовательно интегрируя это уравнение два раза, получим соответственно уравнение углов поворота уравнение прогибов . Константы интегрирования и определяются из граничных условий.

Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения и особенно определение констант интегрирования для балок более чем 2-мя участками является трудоемкой задачей. Так, например, для балки с N участками необходимо записать и проинтегрировать N дифференциальных уравнений при этом появится 2×N констант интегрирования ; и для их определения необходимо записать и использовать 2×N граничных условий. Два граничных условия отражают условия закрепления стержня в опорах. Для каждой шарнирной опоры можно записать , - координата сечения, где расположена опора. Для жесткой заделки и , где - координата жесткой заделки. Остальные 2×N-2 констант интегрирования находятся из условий непрерывного () и плавного () сопряжения изогнутой оси стержня на N-1 границах между участками, здесь - координата границы между i и i +1 участком.

Метод начальных параметров является более удобным для балок со сложной нагрузкой (с большим количеством участков). Суть метода начальных параметров заключается в выравнивания констант интегрирования по участкам, в результате, которого неизвестными остаются лишь две из них , . Оставшиеся константы интегрирования имеют простой физический смысл: - прогиб начального (при x = 0) сечения, - угол поворота начального сечения и определяются из условий закрепления балки. Для произвольной балки постоянного по длине сечения нагруженной k - моментами и m -сосредоточенными силами (включая реакции опор), а также n - равномерно распределенными нагрузками уравнения углов поворота и прогибов записываются одним выражением сразу для всей балки (для всех участков):

где a _i, b _i - координаты сечений где приложена соответственно i - сосредоточенная сила и i - сосредоточенный момент, c _i, d _i координаты соответственно начала и конца i - равномерной распределенной нагрузки. Двойные черточки у каждого из слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления, а именно при определении прогибов или углов поворота в произвольном сечении с координатой - x в вышеприведенных выражениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения. В выражениях метода начальных параметров принято следующее правило знаков для внешних нагрузок: если он направлен по часовой стрелке; и если они направлены вверх.

Определение перемещений при поперечном изгибе энергетическими методами.

Рассмотренное выше дифференциальное уравнение неприменимо для стержней с криволинейной осью и для рам. Более универсальными в этом смысле являются энергетические методы. Наиболее популярным является метод Мора (интеграл Мора).

Согласно методу Мора рассматриваются два состояния системы (балки, рамы): грузовое и единичное. Грузовое состояние обусловлено действием на систему заданной внешней нагрузки, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры называются грузовыми. Единичное состояние обусловлено действием на систему единичной обобщенной нагрузки приложенной по направлению искомого перемещения, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры, называются единичными. Под обобщенной нагрузкой понимается либо сосредоточенная сила, либо сосредоточенный момент. Обобщенной нагрузке соответствуют обобщенные перемещения: сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение; моменту соответствует угол поворота сечения.

Пренебрегая перемещениями, связанными с деформацией сдвига ввиду их малости по сравнению с деформацией изгиба интеграл Мора для случая прямого плоского изгиба запишется в виде: , здесь - обобщенное перемещение соответствующее приложенной единичной обобщенной нагрузке, выражение грузового изгибающего момента на i - том участке выражениеединичного изгибающего момента на i - том участке.

Во всех энергетических методах знак результата означает: знак «+», что искомое перемещение совпадает по направлению с приложенной единичной нагрузкой; знак «-», что искомое перемещение противоположно по направлению приложенной единичной нагрузке.

В инженерной практике широко используется графический способ вычисления интеграла Мора - способ Верещагина. Формула Верещагина в виде: , где - площадь i - го участка грузовой эпюры, ордината эпюры единичного момента взятая под центром тяжести участка грузовой эпюры. Знак «+» перед слагаемым в формуле ставится в случае когда и единичная и грузовая эпюры моментов построены на одноименных волокнах, знак «-» в противном случае. Минимальное количество слагаемых в формуле Верещагина равно количеству участков эпюры единичного момента. Если границы эпюры грузового момента не совпадают с границами эпюры единичного момента, то грузовую эпюру необходимо дополнительно разбить по границе единичной эпюры.

Если имеются трудности с определением площадей и положений центров тяжести участков грузовых эпюр, то для вычисления интеграла Мора рационально использовать формулу Симпсона-Корнаухова: , где - длина i - го участка, - значения единичных и грузовых моментов на левой и правой границе и посередине i – го участка соответственно. Формула Симпсона-Корнаухова справедлива только для стержней с прямолинейными участками (для балок и рам) и только если грузовая эпюра либо линейна, либо является параболой не выше 2-ой степени.

Отметим, что перемещения, определенные с помощью дифференциального уравнения изогнутой оси и с помощью энергетического метода получаются одинаковыми по абсолютной величине.

ЗАДАЧА №1

Задание: Для заданной стальной балки с поперечным сечением в виде двутаврового профиля нагруженной в плоскости XY (рис.1) из условия прочности подобрать величину допускаемой внешней нагрузки [q]. При найденной нагрузке определить перемещения некоторых про­извольных сечений балки двумя способами: а) используя дифференциальное уравнение упругой линии; б) энергетическим методом.

Исходные данные: l = 1.5 м; P = 1.5q l; М = 2q l²; q₁ = 2q. Сечение балки двутавр №27 по ГОСТ 8239 –72. Материал балки Сталь30, с модулем продольной упругости (модулем Юнга) - Е=2×10⁵ МПа и пределом текучести s_т = 300 МПа.

Решение:

1).Определим допускаемые напряжения для материала стержней на растяжение и сжатие, коэффициент запаса прочности, учитывая что материал балки относительно пластичный, примем: n=1.5: .

2).Заменим жесткую заделку ее реакциями (см. рис.2.) и определим их из условий равновесия всей балки: из суммы моментов относительно жесткой заделки получим – откуда ,

а из суммы моментов относительно начального (крайнего левого) сечения

. Для проверки правильности нахождения реакций составим еще одно уравнение равновесия:

. Найденные реакции удовлетворяют этому условию, следовательно, реакции определены верно.

3). Построим эпюры перерезывающих сил - Q и изгибающих моментов - M по участкам балки, используя метод сечений в следующей последовательности:

- в пределах каждого участка проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии x_i от начала координат, (которое выбирается, как правило, в центре тяжести крайнего левого сечения балки) затем любая (в нашем случае правая) часть балки отбрасывается;

- отброшенная часть заменяется внутренними силовыми факторами Q и M (т.е. внутренними силами взаимодействия частей балки, которые можно считать реакциями отброшенной части);

- силовые факторы Q и M определяются из условий равновесия оставшейся части, при этом искомые силовые факторы всегда следует показывать в положительных направлениях, так чтобы изгибающий момент стремился сжимать верхние волокна, а перерезывающая сила стремилась вращать рассматриваемую часть по часовой стрелке.

Первый участок 0 £ x₁ £ 2 l. Перерезывающую силу Q₁(x₁) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.2):

или .

Зависимость Q₁(x₁) – линейная, следовательно, эпюру строим по двум значениям на границах: и . Изгибающий момент M₁(x₁) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (распределенную нагрузку при этом заменяем равнодействующей см. рис.2):

, (здесь и далее при определении изгибающих моментов в сечении в качестве моментной точки удобно выбирать центр тяжести рассматриваемого сечения) откуда следует:

. Зависимость M₁(x₁) – квадратичная, эпюра соответственно парабола, следовательно, кроме значений на границах участка: ; , требуется определить значение момента в вершине параболы. Координату вершины параболы - найдем как точку экстремума из условия: . Согласно известной дифференциальной зависимости:

, тогда из условия определим: .

Вычислим значение . Кроме того, в дальнейшем для определения перемещений энергетическим методом нам понадобится значение момента посередине участка . По рассчитанным значениям моментов строим эпюру изгибающего момента и перерезывающей силы на первом участке (см. рис.2).

Второй участок 2 l £ x₂ £ 3 l. Перерезывающую силу Q₂(x₂) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.2):

- очевидно, что эпюрой будет горизонтальная прямая. Изгибающий момент M₂(x₂) найдем из уравнения равновесия рассматриваемой части (см. рис.2):

откуда: или окончательно . Зависимость M₂(x₂) – линейная, следовательно, эпюру можно построить по двум значениям на границах участка: ; . Снова для определения перемещений энергетическим методом определим значение момента посередине участка - .

По рассчитанным значениям моментов строим эпюру изгибающего момента и перерезывающей силы на первом участке (см. рис.2).

После построения эпюр Q и M нужно выполнить их качественную проверку по дифференциальным зависимостям: по первой зависимости - можно проверить построение эпюры перерезывающей силы по приложенной (или отсутствующей) распределенной нагрузке; по второй зависимости - можно проверить построение эпюры изгибающего момента по эпюре перерезывающей силы. Кроме того, следует учитывать следующие правила: в сечениях, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q имеет место разрыв (скачек) на величину приложенной силы; в сечениях, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре M имеет место разрыв (скачек) на величину приложенного момента.

4). Для заданного поперечного сечения балки выпишем из сортамента необходимые геометрические характеристики: - момент инерции сечения относительно нейтральной линии; - момент сопротивления сечения изгибу относительно нейтральной линии; - площадь поперечного сечения; - статический момент половины сечения относительно нейтральной линии; - толщина стенки; - средняя толщина полки; h = 270 мм - высота сечения; b = 125 мм – ширина полок двутавра.

Из условия прочности по нормальным напряжениям определим допускаемую величину внешней нагрузки. Определим сначала опасные с точки зрения прочности сечения. Учитывая, что сечение симметрично относительно нейтральной линии (кроме того, материал имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие) опасным будет сечение с наибольшим по модулю моментом изгибающим моментам . В этом сечении опасными будут точки наиболее удаленные от нейтральной линии, то есть крайние верхние или крайние нижние волокна. Записывая условия прочности для опасного сечения (все расчеты прочности и жесткости в дальнейшем удобнее вести в размерностях: [Н]; [мм]; [МПа]): получим допускаемое значение внешней нагрузки .

5).Для сравнения определим при найденной величине внешней нагрузки подберем прямоугольное сечение с отношением сторон , момент сопротивления изгибу для него . Записывая условие прочности для такого сечения откуда ширина - , высота - , . Тогда при одинаковой прочности расход материала на балку прямоугольного сечения будет в раза больше чем на балку двутавровую.

6).Для балки двутаврового профиля выполним уточненную проверку прочности. Сечение балки является тонкостенным величина касательных напряжений в поперечных сечениях может оказаться сравнимой с величиной нормальных напряжений. Таким образом, напряженное состояние балки при поперечном изгибе является существенно двумерным (плоским) и при проверке прочности следует воспользоваться одной из теорий прочности, например IV-ой теорией. Опасными сечениями могут оказаться сечения, в которых одновременно действуют большие по величине Q и M. В рассматриваемом примере очевидно, что опасным является сечение в заделке x₂=3l где действуют одновременно максимальные по модулю перерезывающая сила и изгибающий момент (, ) и следовательно возникают наибольшие нормальные и касательные напряжения. Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении показана на рис.3. Для расчета касательных напряжений в тонкостенном сечении применима формула Журавского: , где - статический момент отсеченной части сечения относительно оси нейтральной линии. В тонкостенных сечениях касательные напряжения считаются направленными параллельно средней линии сечения (которая делит толщину стенки (полки) пополам), и постоянными по толщине. Эпюра касательных напряжений в сечении показана на рис.3. Направления касательных напряжений в стенке и полках двутавра зависят от направления перерезывающей силы и показаны на том же рисунке стрелками. Для построения эпюры касательных напряжений достаточно вычислить их значения в трех точках сечения. В расчетах обычно полки переменной толщины заменяются прямоугольниками с размерами . Максимальные касательные напряжения возникают на нейтральной линии, где наибольший статический момент отсеченной части сечения и минимальная толщина сечения равная - s:

. Для определения касательных напряжений в стенке в месте соединения с полкой - , необходимо вычислить статический момент площади полки относительно нейтральной линии сечения: .

Тогда .

Максимальные касательные напряжения в полках равны .

По эпюрам нормальных и касательных напряжений представленным на рис.3 видно, что опасными точками в сечении являются т. D и E. Определим в этих точках эквивалентные напряжения по IV-ой теории прочности. Эквивалентное напряжение в т.D , нормальное напряжение можно определить графически по эпюре рис.3 или используя общую формулу , где - расстояние от нейтральной линии до точки D. Эквивалентное напряжение в т.E . Эквивалентные напряжения в опасных точках превосходят допускаемые , однако перегрузка составляет < 5% и прочность балки можно считать обеспеченной. В случаях, когда максимальные напряжения превосходят допускаемые более чем на 5% для выполнения условий прочности следует пропорционально уменьшить нагрузку или увеличить размеры сечения.

7).Запишем и решим дифференциальное уравнение упругой линии для рассматриваемой балки. Балка состоит из двух участков и следовательно необходимо записать и проинтегрировать дифференциальные уравнения для каждого из них.

Первый участок - 0 £ x₁ £ 2 l: .

Интегрируя два раза, получим соответственно выражения для углов поворота и прогибов:

.

Второй участок - 2 l £ x₁ £ 3 l: .

Интегрируя, получим выражения для углов поворота и прогибов для второго участка:

.

Для определения 4-х констант интегрирования имеются 4 граничных условия. Два граничных условия должны учесть способ закрепления балки, то есть тот факт, что прогиб и угол поворота сечения в жесткой заделке равны нулю: ; . Два других граничных условия являются условиями неразрывности балки на границе между участками: ; . Поставляя уравнения и в граничное условие , уравнения и в условие , уравнение в условие , уравнение в условие получим следующую систему линейных уравнений относительно констант интегрирования:

Упрощая и преобразуя запишем систему ее в виде:

Разрешая последнюю систему, определяем неизвестные: ; ; ; . Теперь выражения для прогибов и углов поворота для обоих участков становятся полностью определенными и записываются в виде:

.

. Используя эти выражения можно рассчитать прогиб и угол поворота любого сечения балки, например прогиб - и угол поворота –

крайнего левого сечения балки. Отрицательные значения прогиба означают, что прогиб направлен вниз, отрицательные значения угла поворота означают, что поворот сечения происходит по часовой стрелке. Отметим, что определение 4-х констант, несмотря на относительную простоту рассматриваемой балки, оказалось довольно трудоемкой процедурой, поэтому для определения перемещений рационально использовать метод начальных параметров. Использование метода начальных параметров для определения перемещений рассмотрено в задаче №2.

8). Снова определим прогиб и угол поворота крайнего левого сечения, но уже энергетическим методом используя интеграл Мора.

Согласно методу Мора для определения прогиба в сечении рассмотрим 1-е единичное состояние, приложим в сечении единичную вертикальную силу и построим эпюру единичного момента см. рис.4. Далее интеграл Мора для прогиба данного сечения будем вычислять способом Верещагина, согласно которому необходимо перемножить эпюру грузового (изгибающего момента от внешней нагрузки) момента на соответствующую единичную ´ . На рис.4 для наглядности перенесена эпюра грузового момента построенная ранее (рис.2). Так как вычисление центров тяжести и площадей участков грузовой эпюры в данном случае достаточно трудоемко воспользуемся формулой Симпсона-Корноухова. На рис.4 показаны ординаты единичной и грузовой эпюр на левой и правой границах и в средних сечениях каждого участка, необходимые для формулы Симпсона-Корноухова. Подставляя необходимые значения с эпюр в формулу Симпсона-Корноухова, получим искомый прогиб сечения:

.

Для определения угла поворота крайнего левого сечения рассмотрим 2-е единичное состояние, приложим в сечении единичный момент. Построим эпюру единичного момента см. рис.4. Перемножая эпюры ´ по Верещагину, снова используем формулу Симпсона-Корноухова. Подставляя необходимые значения с эпюр в формулу Симпсона-Корноухова, получим угол поворота сечения:

Найденные значения совпадают по модулю с полученными при решении дифференциального уравнения упругой линии. В энергетических методах знак «+» означает, что направление перемещения совпадает с направлением соответствующей единичной нагрузки, знак «-» означает, что направление перемещения противоположно направлению единичной нагрузки. Следовательно в рассматриваемом случае прогиб сечения направлен вниз, а поворот сечения происходит по направлению единичного момента (см.рис.4) то есть по часовой стрелке. Таким образом направления перемещений совпадают с полученными при решении дифференциального уравнения упругой линии, что является подтверждением правильности определения перемещений.

ЗАДАЧА №2.

Задание: Для заданной балки нагруженной в плоскости XY (рис.1) из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения в виде нестандартного тавра (сечение показано там же). Определить перемещения и углы поворота некоторых сечений балки, используя дифференциальное уравнение упругой линии балки. Определить перемещения и углы поворота некоторых сечений балки, используя энергетический метод.

Исходные данные: l = 2000 мм; P = 20 кН; М = 10 кНм; q₁ = 15 кН/м; q₂ = 10 кН/м. Материал стержней чугун СЧ15-32, с модулем продольной упругости (модулем Юнга) - Е=1.1×10⁵ МПа и пределами прочности на растяжение и сжатие s_вр = 150 МПа, s_вс = 650 МПа.

Решение:

1).Определим допускаемые напряжения для материала стержней на растяжение и сжатие, коэффициент запаса прочности, учитывая что материал балки хрупкий, примем: n=2:

; .

2).Определим реакции опор из условий равновесия всей балки (см. рис.1): из суммы моментов относительно первой (левой) опоры получим –

из суммы моментов относительно второй (правой) опоры получим –

Из уравнения (1) выразим и определим реакцию левой шарнирной опоры R₂ а из уравнения (2) реакцию левой шарнирной опоры R₁ (нагрузку подставляем в [кН] а размеры в [м]):

Для проверки правильности нахождения реакций составим еще одно уравнение равновесия:

. Найденные реакции удовлетворяют этому условию, следовательно, реакции определены верно.

3). Построим эпюры перерезывающих сил - Q и изгибающих моментов - M по участкам балки, используя метод сечений в следующей последовательности:

- в пределах каждого участка проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии x_i от начала координат, (которое выбирается, как правило, в центре тяжести крайнего левого сечения балки) затем любая (в нашем случае правая) часть балки отбрасывается;

- отброшенная часть заменяется внутренними силовыми факторами Q и M (т.е. внутренними силами взаимодействия частей балки, которые можно считать реакциями отброшенной части);

- силовые факторы Q и M определяются из условий равновесия оставшейся части, при этом искомые силовые факторы всегда следует показывать в положительных направлениях, так чтобы изгибающий момент стремился сжимать верхние волокна, а перерезывающая сила стремилась вращать рассматриваемую часть по часовой стрелке.

Первый участок 0 £ x₁ £ l. Перерезывающую силу Q₁(x₁) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.1):

- очевидно, что эпюрой будет горизонтальная прямая. Изгибающий момент M₁(x₁) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (см. рис.1): (здесь и далее при определении изгибающих моментов в сечении в качестве моментной точки удобно выбирать центр тяжести рассматриваемого сечения) откуда:

Второй участок l £ x₂ £ 3 l. Перерезывающую силу Q₂(x₂) найдем из уравнения равновесия для рассматриваемой части (смотри рис.1):

.

Зависимость Q₂(x₂) – линейная, следовательно, эпюру строим по двум значениям на границах: и . Изгибающий момент M₂(x₂) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (распределенную нагрузку при этом заменяем равнодействующей см. рис.1): , откуда следует:

. Зависимость M₂(x₂) – квадратичная, эпюра соответственно парабола, следовательно, кроме значений на границах участка:

;

требуется определить значение момента в вершине параболы. Координату вершины параболы - найдем как точку экстремума из условия: . Согласно дифференциальной зависимости: , значит, откуда определим: . Вычислим значение

По рассчитанным трем значениям моментов строим эпюру изгибающего момента на втором участке (см. рис.1).

Третий участок 3 l £ x₃ £ 4 l. Перерезывающую силу Q₃(x₃) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.1):

откуда выразим перерезывающую силу - . Зависимость Q₃(x₃) – линейная, следовательно, эпюру строим по двум значениям на границах:

.

Изгибающий момент M₃(x₃) найдем из уравнения равновесия , рассматриваемой части (распределенные нагрузки при этом заменяем равнодействующими см. рис.1):

, откуда: . Зависимость M₃(x₃) – квадратичная, эпюра моментов парабола, следовательно, кроме значений на границах участка:

;

,

требуется определить значение момента в вершине параболы. Однако, используя дифференциальную зависимость легко определить, что вершина эпюры моментов совпадает с правой границей участка (x₃ = 4 l), так как в этом сечении Q₃(x₃)=0. Значит, эпюру можно построить по значениям на границах участка, учитывая, что выпуклость эпюры моментов всегда направлена навстречу направлению распределенной нагрузки на участке (см. рис.1).

После построения эпюр Q и M нужно выполнить их качественную проверку по дифференциальным зависимостям: по первой зависимости - можно проверить построение эпюры перерезывающей силы по приложенной (или отсутствующей) распределенной нагрузке; по второй зависимости - можно проверить построение эпюры изгибающего момента по эпюре перерезывающей силы. Кроме того, следует учитывать следующие правила: в сечениях, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q имеет место разрыв (скачек) на величину приложенной силы; в сечениях, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре M имеет место разрыв (скачек) на величину приложенного момента.

4). Для заданного поперечного сечения балки (рис.2)

определим положение нейтральной линии. Как известно, нейтральная линия совпадает главной центральной осью перпендикулярной грузовой плоскости, в нашем случае грузовой плоскостью является - XY, следовательно, нейтральная линия совпадает с осью Z_c. Выберем начальную систему координат как показано на рис.2. Разобьем сечение на простейшие фигуры – два прямоугольника верхний и нижний с площадями соответственно: и . Вычислим статический момент сечения относительно начальной оси Z как сумму статических моментов верхнего и нижнего прямоугольников где: соответственно координаты центров тяжести верхнего и нижнего прямоугольника. Положение нейтральной линии (оси Z_c) определится координатой . Определим момент инерции сечения относительно нейтральной линии (оси Z_c): , где - и соответственно моменты инерции верхнего и нижнего прямоугольников:

первые слагаемые в приведенных выражениях есть моменты инерции верхнего и нижнего прямоугольников относительно собственных центральных осей (параллельных оси Z_c), вторые слагаемые являются поправками Штейнера для перехода от собственных центральных осей прямоугольников к оси Z_c. Таким образом, момент инерции сечения относительно нейтральной линии Z_c: .

Вычислим моменты сопротивления сечения для верхних и нижних волокон:

; ,

где , соответственно расстояния от нейтральной линии до крайних верхних и крайних нижних волокон (см. рис.2).

5).Из условия прочности по нормальным напряжениям определим минимально необходимый размер поперечного сечения – b. Определим сначала опасные с точки зрения прочности сечения. Потенциально опасными будут сечения с наибольшим положительным и наибольшим отрицательным изгибающими моментами, так как поперечное сечение стержня несимметрично относительно нейтральной линии и материал стержня имеет разные допускаемые напряжения на растяжение и сжатие (в других случаях, если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то опасным будет сечение с наибольшим по модулю моментом). В каждом из этих сечений опасными могут оказаться точки наиболее удаленные от нейтральной линии, то есть крайние верхние или крайние нижние волокна. В самом общем случае для двух опасных сечений следует рассмотреть четыре условия прочности.(Все расчеты прочности и жесткости в дальнейшем удобнее вести в размерностях: [Н]; [мм]; [МПа]).

Записывая условия прочности для сечения с для сжатых (верхних) волокон: ;

для растянутых (нижних) волокон:

.

Из условия прочности для сечения с для растянутых (верхних) волокон (в формулах для расчета напряжений изгибающий момент всегда берется по модулю а знак напряжений определяется характером деформации соответствующих волокон): ;

для сжатых (нижних) волокон:

.

Максимальное значение - получилось из условия прочности растянутых (нижних) волокон сечения с моментом , значит самыми опасными являются эти волокна. Окончательно принимаем - .

Для проверки рассчитаем действующие в опасных напряжения и убедимся, что условия прочности выполнены. Для сечения с моментом : в верхних волокнах напряжения сжатия – ; в нижних волокнах напряжения растяжения – .

Для сечения с моментом : в верхних волокнах напряжения растяжения – ; в нижних волокнах напряжения сжатия – . По полученным значениям строим эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях (см. рис.2). Определим величину момента инерции сечения относительно оси Z_c:

6).Выполним проверку прочности балки. Напряженное состояние в сечениях балки при поперечном изгибе является плоским и в прочностных расчетах в общем случае следует использовать теории прочности. Однако, в рассматриваемом примере сечение не является тонкостенным и следовательно касательные напряжения малы по сравнению с нормальными, кроме того большие по величине нормальные и касательные напряжения действуют в разных точках сечения (см. эпюры рис.2). Учитывая изложенное выше, проверку прочности можно свести к условию прочности отдельно по касательным напряжениям.

Допускаемые касательные напряжения ориентировочно можно определить как: . Для расчета касательных напряжений в поперечном сечении используем формулу Журавского: , где - статический момент отсеченной части (лежащей выше или ниже линии с координатой y, на которой определяются напряжения t) сечения относительно оси Z_c. Формула Журавского выведена в предположении, что касательные напряжения направлены по оси Y и постоянны по ширине сечения. Максимальные касательные напряжения возникают в сечении с . Для сечения любой формы статический момент отсеченной части максимален на нейтральной линии: , в рассматриваемом сечении на той же линии ширина сечения минимальна и равна , следовательно . Удобно вычислить как статический момент прямоугольника расположенного ниже Z_c. Тогда, условие прочности по касательным напряжениям выполняется. Для построения эпюры касательных напряжений в опасном сечении (см. рис.2) учтем, что на крайних волокнах верхних и нижних касательные напряжения всегда равны нулю, так как для них (нет отсеченной части). Кроме того, по формуле Журавского вычислим касательные напряжения на границе верхнего и нижнего прямоугольников при : - для ширины и соответственно в 4.5 раза меньше - для ширины .

Эпюра t(y) для верхнего прямоугольника условна и показана штрихами, так как ширина прямоугольника больше его высоты и формула Журавского здесь применима только для ориентировочных расчетов.

7).Запишем уравнение изогнутой оси балки, используя общие выражения метода начальных параметров, учитывая направление нагрузок показанное на рис.1:

- уравнение углов поворота поперечных сечений;

уравнение прогибов поперечных сечений. При определении прогибов или углов поворота в произвольном сечении с координатой - x в вышеприведенных уравнениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения. Двойные черточки у слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления.

Начальные параметры - имеют смысл соответственно прогиба и угла сечения находящегося в начале координат (при x = 0), и должны быть определены из граничных условий. В качестве граничных условий используем тот факт что прогибы сечений где расположены опоры равны нулю, которые могут быть записаны: ; . Подставляя условие (а) в выражение (4) получим следующее уравнение:

.

Подставляя условие (b) в выражение (4) получим соответственно:

Решая совместно уравнения (c), (d) определяем: и

Теперь, когда определены начальные параметры по формулам (3) и (4) можно определить угол поворота и прогиб любого сечения балки. Определим, например, прогиб среднего сечения второго участка (x = 2 l):

Кроме того, определим прогиб крайнего правого сечения балки (x = 4 l):

По рассчитанным прогибам можно построить приблизительную форму изогнутой оси балки смотри рис.1. При этом следует учитывать, что выпуклость изогнутой оси направлена вверх, если изгибающий момент отрицательный, а при положительном изгибающем моменте выпуклость изогнутой оси направлена вниз.

8). Определим перемещения сечения и угол поворота сечения и энергетическим способом, а именно способом Верещагина.

Сначала определим сначала , для этого приложим в искомом сечении единичную силу см. рис.3. Определим реакции опор, используя уравнения равновесия всей балки: из суммы моментов относительно опоры левой получим – , откуда , из . Строим эпюру единичного изгибающего момента (от действия только единичной нагрузки) по тем же правилам что и грузовую, описание построения эпюры опускаем в силу элементарности. Единичная эпюра представлена на рис.3, там же для удобства повторена эпюра грузового момента с обозначенными площадями участков и положением их центров тяжести (участки эпюры разбиты на простейшие фигуры для удобства определения площадей и центров тяжести). Теперь для определения нужно перемножить эпюры и по формуле Верещагина: , отрицательный знак означает, что

участок грузовой эпюры и единичная эпюра лежат на разноименных волокнах. Вычисляя

, симметричной (относительно середины участка) параболы - , криволинейного треугольника (парабола с вершиной на правой границе) - . Кроме того, на рис.3 показаны ординаты единичного момента в сечениях, где находятся центры тяжестей соответствующих участков эпюры грузового момента, значения которых - , , . Подставляя значения в формулу Верещагина (в размерностях – Н, МПа, мм) получим: , знак «-» означает, что перемещение направлено против направления единичной силы, то есть вверх. Таким образом, результат совпадает с полученным ранее.

Для определения к балке в сечении x=2l приложим единичный момент (см. рис.4). Составляя уравнение равновесия относительно левой опоры Þ , а из условия очевидно, что . Эпюра единичного момента совместно с грузовой эпюрой представлена на рис.4. Для использования формулы Верещагина грузовую эпюру на втором участке необходимо разбить еще на 2 участка (соответственно единичной) каждый из которых ограничен квадратичной параболой. Вычисление площадей и центров тяжести грузовой эпюрой в этом случае весьма трудоемкая задача и для перемножения эпюр по Верещагину рационально использовать формулу Симпсона-Корноухова, на рис. 4 проставлены необходимые для перемножения

Применяя формулу Симпсона-Корноухова для значения в (в размерностях – Н, МПа, мм) получим следующий результат:

Знак «+» означает, что сечение поворачивается по направлению единичного момента против часовой стрелки.

ЗАДАЧА №3.

Задание: Для заданной плоской рамы нагруженной в плоскости XY (рис.1) из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения в виде двух швеллеров (ориентация сечения показано там же). Рассчитать перемещение одного и угол поворота другого произвольно выбранных поперечных сечений рамы.

Исходные данные:

h = 2000 мм; l = 4000 мм;

P₁ = 20 кН; P₂ = 30 кН;

Поиск по сайту: