ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ. Изгибом стержня называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и перерезывающие силы

Изгибом стержня называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и перерезывающие силы, деформированная ось стержня представляет пространственную кривую. Стержень, работающий на изгиб, обычно называется балкой.

Плоский изгиб такой вид деформации стержня, при котором деформированная ось стержня является плоской кривой.

Плоский изгиб называется прямым, если изогнутая ось лежит в грузовой (силовой) плоскости. Чтобы изгиб был плоским необходимо, чтобы грузовая плоскость совпадала с одной из главных центральных плоскостей инерции стержня.

Грузовой (силовой) плоскостью называется плоскость, в которой лежит вся внешняя нагрузка, включая реакции. Пересечение грузовой плоскости с поперечным сечением называется силовой линией. Главной центральной плоскостью инерции стержня называется плоскость, проходящая через главные центральные оси всех его поперечных сечений. При рассмотрении плоского прямого изгиба принято главную центральную плоскость стержня, совпадающую с грузовой плоскостью обозначать XY (где X - ось стержня). Тогда при плоском прямом изгибе в поперечных сечениях стержня будут возникать перерезывающая сила и изгибающий момент - . В дальнейшем иногда индексы не ставятся, но подразумеваются. Плоский изгиб называется поперечным, если в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты и перерезывающие силы. Плоский изгиб называется чистым, если в поперечных сечениях действуют только изгибающие моменты, .

Примечание. В случае, когда грузовая плоскость совпадает с главной центральной плоскостью стержня, не являющейся плоскостью симметрии стержня, кроме изгиба возникает еще и закручивание стержня. Чтобы при плоском изгибе не происходило дополнительное закручивание стержня необходимо, чтобы внешняя нагрузка в каждом поперечном сечении проходила через точку называемую центром сдвига (изгиба). Центр изгиба всегда лежит на оси симметрии (если она есть) поперечного сечения. Поэтому при рассмотрении примеров ограничимся случаем сечений имеющих ось симметрии и нагруженных в плоскости симметрии.

Правило знаков , :

-изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом поперечном сечении сжимает верхние волокна;

-перерезывающая сила считается положительной, если стремится вращать рассматриваемую часть стержня по часовой стрелке;

-распределенная нагрузка считается положительной, если направлена вверх.

Эпюрами и называются графики иллюстрирующие изменение этих силовых факторов по длине стержня. Эпюры и строятся по участкам стержня, значения и определяются методом сечений. Между распределенной нагрузкой q и силовыми факторами , - существуют дифференциальные зависимости:1) 2) 3) , которые используются как при построении эпюр, так и при их проверке. Например, из третьей зависимости следует, что выпуклость эпюры моментов всегда направлена навстречу распределенной нагрузке.

Напряжения в поперечных сечениях и условия прочности при плоском прямом изгибе стержней.

При изгибе всегда часть волокон сжата, часть растянута и в стержне имеется слой волокон, длина которых не изменяется называемый нейтральным слоем. Пересечение нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной линией. При плоском прямом изгибе нейтральный слой перпендикулярен грузовой плоскости, а нейтральная линия в сечении перпендикулярна силовой линии и совпадает с главной центральной осью сечения Z. При чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, величина которых изменяется пропорционально расстоянию до нейтральной линии сечения. На нейтральной линии нормальные напряжения равны нулю.

При чистом плоском изгибе нормальные напряжения - для волокон расположенных на расстоянии y от нейтральной линии, рассчитываются по формуле: , где - момент инерции сечения относительно главной центральной оси сечения (или, то же самое относительно нейтральной линии). В формулу подставляется модуль величин y и , а знак нормальных напряжений при этом определяется характером деформации сечения, например, при отрицательном моменте волокна верхние будут растянуты и следовательно для них >0. Наибольшие по модулю нормальные напряжения будут возникать в наиболее удаленных от нейтральной линии волокнах и рассчитываются по формуле , где величина - момент сопротивления сечения изгибу относительно оси Z. Условия прочности при чистом изгибе запишутся в виде: для материалов имеющих одинаковую прочность на растяжение и сжатие ; для материалов имеющих разную прочность на растяжение и сжатие, должны выполнятся одновременно два условия - и , где момент сопротивления растянутых сжатых волокон.

При поперечном изгибе нормальные напряжения в сечениях стержня рассчитываются по формулам чистого изгиба кроме, приближенно, возникают так же касательные напряжения. Касательные напряжения в волокнах отстоящих на расстоянии y от нейтральной линии определяются по формуле Журавского: , где - статический момент отсеченной части сечения (лежащей выше или ниже рассматриваемых волокон), - ширина сечения в месте, где определяются напряжения . Имеются особенности в использовании формулы Журавского для массивных (толстостенных) сечений и для тонкостенных сечений.

В толстостенных сечениях предполагается, что касательные напряжения направленными параллельно силовой линии (оси Y) и по направлению действующей в сечении , и распределены равномерно по ширине сечения. Такие предположения справедливы только для прямоугольных сечений имеющих ширину меньшую высоты, для всех остальных форм сечений формула Журавского является приближенной.

В тонкостенных сечениях предполагается, что касательные напряжения распределены равномерно по толщине стенки сечения и направленными параллельно средней линии (средняя линия делит толщину стенки пополам). Такие предположения не являются строгими, однако, формула Журавского, дает достаточно точные результаты за исключением мест резкого изменения толщины и направления стенок сечения.

При поперечном изгибе в сечениях одновременно действуют и нормальные и касательные напряжения, следовательно, напряженное состояние материала стержня является двухосным (плоским). Оценка прочности в этом случае должна учитывать вестись на основании теорий прочности.

В массивных (толстостенных) сечений величина касательных напряжений обычно незначительна по сравнению с величиной нормальных напряжений и оценку прочности допускается вести как при одноосном напряженном состоянии. Таким образом, для стержня с массивным сечением при поперечном изгибе кроме условий прочности по нормальным напряжениям изгиба считается достаточным записать условие прочности по касательным напряжениям - . Следовательно, кроме сечений с наибольшим изгибающим моментом нужно рассматривать сечения с максимальной перерезывающей силой.

В тонкостенных сечениях величина касательных напряжений может оказаться сравнимой с величиной нормальных напряжений и при оценке прочности необходимо использовать соответствующую теорию прочности. Для средне пластичных и пластичных материалов обычно используют III или IV – теорию прочности. Для случая поперечного изгиба условие прочности по III-ей теории прочности - , условие прочности по IV-ой теории прочности - , - нормальные эквивалентные напряжения в соответствующей теории прочности. Опасными точками в сечении будут точки с и а также точки, где нормальные и касательные напряжения одновременно велики. Для определения опасных точек сечения следует строить эпюры и для опасных сечений. Опасными сечениями будут сечения, где действуют максимальные изгибающие моменты и перерезывающие силы, а также сечения, где одновременно действуют моменты и силы близкие к максимальным.

Проектировочный расчет стержней при поперечном изгибе ведется обычно приближенно с учетом только нормальных напряжений. Уточненный расчет по эквивалентным напряжениям (или с учетом касательных напряжений) выполняется как проверочный.

Поиск по сайту: