Геометрія як навчальний предмет

Мета викладання геометрії в 7-9 класах систематичне вивчення властивостей геометричних фігур на площині, формування просторових уявлень, розвиток логічного мислення, засвоєння апарату, потрібного для

вивчення суміжних дисциплін (фізики, географії, креслення, трудового навчання та ін.).

Визначена мета має досягатися розв'язуванням таких завдань: забезпечення раціонального поєднання логічної строгості і гео­метричної наочності, розвитку інтуїції, послідовного проведення дедуктивної побудови математичної теорії і формування ізв'язку з цим потреби обґрунтовувати твердження при доведені теорем і розв'язуванні задач; цілеспрямоване навчання учнів відчленовування геометричних форм і відношень, фактів в предметах і явищах навколишньої дійсності; реалізація практичної спрямованості курсу шляхом застосування геометричного апаратудо розв'язування задач на обчислення, доведення і побудову, у тому числі прикладного і між предметного змісту.

Навчальний матеріал курсу групується навколо п'яти змістовних ліній:

1) геометричні фігури та їх властивості; 2) геометричні побудови; 3) геометричні перетворення; 4) геометричні величини, їх вимірювання і обчислення; 5) координати і вектори.

У результаті вивчення курсу учні повинні оволодіти таким обов’язковим мінімумом знань і умінь:

знати означення геометричних фігур (за програмою), їх ознаки, властивості і відношення, сформульовані в означеннях, аксіомахі теоремах; вміти зображати геометричні фігури, про які ідеться в умовах теорем і задач, виділяти відомі фігури на рисунках і моделях;

розв'язувати типові задачі на обчислення, доведення і побу­дову, проводити в цьому разі доказові міркування, спираючись на теоретичні факти (аксіоми, теореми, означення);

виконувати основні побудови циркулем і лінійкою; розв’язувати нескладні комбіновані задачі, що зводяться до виконання основних побудов;

застосовувати апарат алгебри і тригонометрії в процесі розв’язування стандартних геометричних задач;

використовувати вектори і координати для розв'язування
стандартних задач (обчислення довжин і кутів, додавання векторів і множення вектора на число).

Логічна будова шкільного курсу геометрії.

Геометрія як наука - частина математики, початковим предметом якої є просторові відношення і форми тіл, без урахування інших їх властивостей (густини, маси, кольору тощо). Сучасна геометрія вивчає будь-які відношення і форми, що виникають при дослі­дженні однорідних об'єктів, явищ, подій (без урахування їх кон­кретного змісту) і виявляються схожими на звичайні просторові відношення і форми.

Виникнення геометрії з давніх-давен було зумовлене практич­ними потребами людей (вимірювання відстаней, площ земельних ділянок, об'ємів тіл). Найпростіші геометричні твердження і поняття були відомі ще в Стародавньому Єгипті (початок II ти­сячоліття до н. є.). Проте логічні доведення тверджень на той час були примітивними або їх зовсім не було. З VI по І ст. до н. є. розвиток геометрії відбувався в основному в Стародавній Греції. На той час вже з'явились порівняно строгі логічні доведення, які були зібрані в «Началах» Евкліда (близько 300 р. до н. є.). Розви­ток астрономії і геодезії (І-ІІ ст.) привів до відкриття плоскої і сферичної тригонометрії.

Зовсім новий підхід до розв'язування геометричних фактів за­пропонував у першій половині XVII ст. Р. Декарт (1596-1650). Він відкрив метод координат, чим було закладено основи аналі­тичної геометрії.

У 1826 р. М. І. Лобачевський запропонував систему аксіом, відмінну від аксіом Евкліда, - була відкрита можливість існуван­ня неевклідової геометрії.

У шкільному курсі до 60-х рр. XX ст. в основу логічної побу­дови підручників геометрії у всіх країнах було покладено аксіо­матику Евкліда. Зокрема, на такій логічній основі побудований підручник геометрії А. П. Кисельова (було понад 30 видань). У період світового руху за модернізацію шкільного курсу в 50-60-х рр. в багатьох країнах висловлювався заклик відмовитись від системи Евкліда і ввести до шкільного курсу тільки сучасну і досконалу аксіоматику. Були різні пропозиції і спроби, зокрема пропонувалося побудувати шкільний курс геометрії на основі аксіоматики векторного простору (аксіоми Вейля), в основу по­класти геометричні перетворення, аксіоми метричного простору. Було створено пробні підручники. З 70-х рр. у республіках ко­лишнього СРСР протягом кількох років планіметрія викладалась за посібником [81], створеним з безпосередньою участю А. М. Колмогорова. В основу посібника було покладено аксіоматику, за­пропоновану А. М. Колмогоровим. Широко використовувались термінологія і символіка множин, геометричні перетворення були основним засобом доведення теорем та розв'язування задач, пе­редбачалось використання векторів і тригонометричних функцій як апарату для розв'язування задач. Однак посібник зазнав гострої критики через занадто високий його теоретичний рівень, заформалізованість термінологією і символікою множин, недоско­налість системи задач. Трохи вище оцінювали вчителі навчаль­ний посібник із стереометрії за редакцією 3. О. Скопеця, який був логічним продовженням посібника з планіметрії за редакцією А. М. Колмогорова.

З 1982-1983 навчального року 6 класи всіх шкіл України і кількох областей Білорусі, Росії почали працювати за четвертим виданням навчального посібника О. В. Погорєлова.

Після кількох перевидань і перемоги на Всесоюзному конкур­сі 1990 р. цей посібник [164] разом з книжкою авторів Л. С. Атанасяна та ін. [41] було введено як паралельні підручники для 7-11 класів середньої школи.

Підручник О. В. Погорєлова [164] побудовано за традиційною схемою, тобто такою самою, як і підручник А. П. Кисельова [73]. Особливістю цієї схеми є те, що ознаки рів­ності трикутників в ній з'являються на почат­ку курсу і відіграють роль основного засобу в доведеннях теорем і розв'язуванні задач. Разом з тим підручник О. В. Погорєлова має переваги перед підручником А. П. Кисельова з погляду стро­гості викладу теоретичного матеріалу.

Розглянемо логічні підґрунтя підручника О. В. Погорєлова. Він побудований на дедуктивній основі, хоч і не строго аксіоматично.

1. Виклад теоретичного матеріалу ґрунтується на семи первіс­них (неозначуваних) поняттях. Шість з них - планіметричні, які переходять в стереометрію (точка, пряма, довжина відрізка, гра­дусна міра кута, відношення «належати» для точок і прямих і «лежить між» для трьох точок прямої), і одне вводиться в сте­реометрії - поняття «площина».

Основні властивості неозначуваних понять описуються де­в'ятьма аксіомами планіметрії (табл. 3.1), які переходять в сте­реометрію (аксіоми IV, VII, VIII і IX з незначними уточненнями) і трьома аксіомами стереометрії (табл. 3.2).

Чотири аксіоми планіметрії (IV, VII, VIII, IX), які переходять разом з усіма іншими в стереометрію, потребують уточнення, оскільки в просторі існує не одна, а безліч площин. Після уточ­нення вони формулюються так.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

VII. Від півпрямої на площині, яка її містить, в задану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою 180°, і тільки один.

VIII. Хоча б яким був трикутник, існує рівний йому трикутник
у даній площині в заданому розташуванні стосовно даної півпряімої в цій площині.

Прийнята в підручнику система аксіом дала можливість О. В. Погорєлову строго довести важливі для побудови курсу ознаки рівності трикутників, які в підручнику А. П. Кисельова строго не доводились. Аксіоми вимірювання відрізків і кутів дали змогу обминути досить важкі для теоретичного викладу питання вимірювання геометричних величин.

За рахунок зміни послідовності викладу теорем традиційного курсу автору вдалося стисло викласти теоретичний матеріал: і доповнити курс новими темами: декартові координати, вектори, геометричні перетворення. Скорочення кількості теорем досягну­то перенесенням частини з них у задачі.

Уже в § 1, де вводяться всі первісні поняття й аксіоми, почи­нає послідовно розвиватися ідея аксіоматичної побудови геомет­рії. Аксіоми і теореми широко використовуються для доведення теорем і розв'язування задач.

2. У підручнику О. В. Погорєлова є три класи понять: 1) пер­вісні, які не означуються; 2) ті, що вводяться описово, без строго­го означення, на прикладах (геометрична фігура, аксіома, дати означення чому-небудь та ін.); 3) поняття, які означаються за до­помогою первісних понять або означених раніше. Означення по­нять найчастіше сформульовані конструктивно, тобто в означенні вказується спосіб утворення фігури. Як правило, означення по­даються в пояснювальному тексті без виділення курсивом (крім самого терміна). Наприклад: «Трикутником називається фігура,: яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки».

Прийняті в підручнику означення відрізка і півпрямої (проме­ня) не передбачають включення кінців відрізка і початку променя; у відповідні фігури. Це дає можливість виключити в умовах задач:

і теорем окремі, особливі і тому складні випадки. Зокрема, якщо точку взято за умовою задачі на медіані трикутника, то немає потреби спеціально зумовлювати те, що вона не лежить на сторо­ні, не збігається з вершиною трикутника.

Вводяться два види кутів, многокутників (зокрема, і трикут­ників): 1) кут як «фігура, яка складається з точки - вершини ку­та - і двох різних півпрямих, що виходять з цієї точки, - сторін кута» і 2) плоский кут: «кут розбиває площину на дві частини. Кожна з частин називається плоским кутом». Аналогічно означаються многокутник і плоский многокутник.

Паралельні прямі означаються окремо в планіметрії (дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються) і в сте­реометрії (дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються). Перше озна­чення включає одну суттєву властивість, а друге - дві.

При означенні призми і циліндра здійснено єдиний підхід, за якого призма (циліндр) складається з двох плоских многокутни­ків (двох кругів), що суміщуються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутни­ків (кругів). Єдиний підхід здійснено також до означення пірамі­ди і конуса.

3.Координати і вектори на площині і в просторі та геометрич­
ні перетворення введено радше із загальноосвітньою метою, ніж
як апарат для доведення теорем і розв'язування задач.

4.У підручнику О. В. Погорєлова значно менше місця і уваги,
ніж в попередніх підручниках геометрії, приділено геометричним
побудовам.

5.Означення тригонометричних функцій вводиться вже у
8 класі спочатку через відношення сторін в прямокутному трикутнику, а пізніше координатним способом. Апарат тригонометрії
застосовується для розв'язування прямокутних і косокутних три­
кутників і в теоретичному матеріалі. Наприклад, косинус кута
використовується для доведення теореми Піфагора.

6.У підручнику не використовуються термінологія і символі­
ка множин.

Для позначення прямих, відрізків, довжин відрізків, кутів і їх міри вживається традиційна символіка. Наприклад, символом АВ позначаються і відрізок, і пряма, і довжина відрізка.

Символом ÐАОВ позначається і кут, і його міра.

Методичні особливості підручника О. В. Погорєлова визна­чаються трьома факторами. По-перше, підручник призначений для учнів - вони повинні працювати з ним після того, як прослу­хали відповідне пояснення вчителя на уроці. По-друге, автор ви­ходить з того, що головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. По-третє, основним засобом навчання геометрії вважа­ється розв'язування задач.

Широке залучення учнів до доведень за зразком з обов'яз­ковим посиланням на аксіоми, доведені раніше теореми і введені означення в перших двох параграфах створюють умови для ви­никнення потреби доводити нові твердження та для формування уміння міркувати, засвоювати мову і символіку геометрії.

Зауважимо, що автор підручника намагався забезпечити стис­лість доведень окремих більш складних теорем, зокрема ознак рівності трикутників, тому відпрацьовані та інтуїтивно зрозумілі міркування в доведеннях пропущено. Посилання на аксіоми і тео­реми мають бути змістовними, а не даватись у вигляді переліку відповідних номерів, введених у підручнику лише для зручності викладу навчального матеріалу.

У підручнику є близько 1200 номерів задач. Частину з них розв'язано в пояснювальному тексті з метою: 1) ознайомити уч­нів саме з цим способом розв'язування (хоч учні можуть запро­понувати й інший спосіб); 2) дати додаткову опорну інформацію, тому на деякі важливі властивості фігур, одержані при розв'я­зуванні задач, можна посилатися і як на теореми (наприклад, за­дача №629, §11); 3) дати зразок стислого оформлення роз­в'язання задачі. Багато задач подано парами для того, щоб одну розв'язати в класі, а другу - виконуючи домашнє завдання. Сис­тема задач посібника передбачає розв'язування в класі близько половини задач, на що в середньому має відводитись близько 50 % сукупного навчального часу на уроці. Система задач не є збитковою. Мається на увазі, що до інших джерел задач учитель повинен звертатися після того, як розв'язані задачі відповідного параграфа підручника.

Організації самостійної роботи сприяють наведені після кож­ного параграфа запитання для повторення. Запитання складено так, що на кожне з них учень може знайти відповідь в тексті під­ручника.

Пропонуємо самостійно проаналізувати за такою самою схе­мою паралельний підручник А. С. Атанасяна та ін. [41].

Поиск по сайту: