СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

В XX в. были созданы новые математические теории, как, например, топология, математическая логика, и коренным образом преобразованы старые, изменился сам язык математики, так что математику XIX в. для чтения современных книг пришлось бы переучиваться заново. Понятия, методы и конструкции современной математики носят весьма общий характер. Соответственно чрезвычайно расширилось поле применения математических методов. Математические методы проникли почти во все отделы физики, в химию, а в последние десятилетия — в биологию, медицину, лингвистику, экономику. Сама математика необыкновенно расширилась количественно и претерпела глубокие качественные изменения. В целом она поднялась на более высокую ступень абстракции.

2. Уравне́ние — это равенство вида

Алгебраические уравнения [править | править вики-текст]

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

где — многочлен от переменных , которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена обычно берутся из некоторого поля , и тогда уравнение называется алгебраическим уравнением над полем . Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена .

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Линейные уравнения [править | править вики-текст]

· в общей форме:

· в канонической форме:

Квадратные уравнения [править | править вики-текст]

где — свободная переменная, , , — коэффициенты, причём

Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членом этого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент : Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю. Графиком квадратичной функции является парабола.

Для нахождения корней квадратного уравнения

Кубические уравнения[править | править вики-текст]

График кубической функции

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду:

поделив его на и подставив в него замену При этом коэффициенты будут равны:

Уравнение четвёртой степени[править | править вики-текст]

График многочлена4-й степени с четырьмя корнями и тремякритическими точками.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.

Системы линейных алгебраических уравнений[править | править вики-текст]

Система уравнений вида:

Уравнения с параметрами [править | править вики-текст]

Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

Пример нелинейного уравнения с параметром:

где — независимая переменная — параметр.

Трансцендентные уравнения [править | править вики-текст]

Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:

·

·

·

Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида , где функции и являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Функциональные уравнения [править | править вики-текст]

Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:

· функциональному уравнению

где — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.

· Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

(формула дополнения Эйлера)

· Функциональное уравнение

где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad − bc = 1, то есть , определяет f как модулярную форму порядка k.

Дифференциальные уравнения [править | править вики-текст]

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производныхразличных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называетсяфункция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на

· обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента:

или ,

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по .

· и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных:

,

где — независимые переменные, а — функция этих переменных.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Корни уравнения ax ² + bx + c = 0 (a ¹ 0) находят по формуле

.

Выражение D = b ² – 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные корни (или корень) тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен.

Если , можно применить формулу

.

Поиск по сайту: