Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость

№1

Консоль длиной l нагружена силой F. Сечение балки прямоугольное с размерами b и h. Модуль упругости материала Е. При увеличении линейных размеров в два раза значение максимального прогиба …

			уменьшится в 2 раза
			увеличится в 2 раза
			не изменится
			увеличится в 4 раза

Решение:
Максимальный прогиб консольной балке где
При увеличении линейных размеров в два раза получим
Следовательно, максимальный прогиб уменьшится в два раза.

№2

Консоль на половине длины нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности Модуль упругости материала балки размер Прогиб на свободном конце консоли не должен превышать
Из условия жесткости диаметр поперечного сечения d равен ____ (см).

			37,1
			18,5
			42,4
			28,4

Решение:
Составим расчетную схему

Расположим начало координат в крайнем левом сечении балки и запишем универсальное уравнение упругой линии балки

где и – прогиб и угол поворота в начале координат;
, – значения момента и силы в начале координат.
Из условий равновесия балки определим

Прогиб и угол поворота в начале координат

Подставим полученные значения в уравнение упругой линии

Прогиб свободного конца консоли

Знак «минус» показывает, что прогиб направлен вниз.
Из условия жесткости где получим
После вычислений найдем

№4

Длина консоли балки Прогиб на свободном конце Угол поворота сечения над опорой В равен ______ радиан.

Решение:
На участке ВС изгибающий момент равен нулю. Следовательно, консоль будет поворачиваться вокруг опоры В как абсолютно твердое тело.

Поэтому

№5

Консольная балка длиной l нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Прогиб свободного конца балки по абсолютной величине равен …

Решение:
Начало координат выберем на левом конце балки. Рассматривая равновесие левой части консоли, составим выражение для изгибающего момента в произвольном сечении с координатой z.


Запишем дифференциальное уравнение упругой линии балки:
, или
Проинтегрируем его дважды:


Произвольные постоянные интегрирования найдем из граничных условий (условий закрепления сечений балки). Прогиб и угол поворота сечения в заделке равны нулю: и Откуда
Окончательно получим

Данное уравнение позволяет определить перемещение в любом сечении балки.
Прогиб свободного конца консоли равен:
Знак «минус» показывает, что перемещение направлено вниз и не совпадает с положительным направлением оси w.

№6

Консоль на половине длины нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности Модуль упругости материала балки размер Прогиб на свободном конце консоли не должен превышать
Из условия жесткости диаметр поперечного сечения d равен ____ (см).

			37,1
			18,5
			42,4
			28,4

Решение:
Составим расчетную схему

Расположим начало координат в крайнем левом сечении балки и запишем универсальное уравнение упругой линии балки

где и – прогиб и угол поворота в начале координат;
, – значения момента и силы в начале координат.
Из условий равновесия балки определим

Прогиб и угол поворота в начале координат

Подставим полученные значения в уравнение упругой линии

Прогиб свободного конца консоли

Знак «минус» показывает, что прогиб направлен вниз.
Из условия жесткости где получим
После вычислений найдем

№7

Консольная балка длиной нагружена силами F. Модуль упругости материала Е, осевой момент инерции сечения заданы. Прогиб концевого сечения примет значение , когда значение силы F равно …

Решение:
Воспользуемся универсальным уравнением упругой линии балки
где и – начальные параметры (прогиб и угол поворота в начале координат); , – значения момента и силы в начале координат.
Составим расчетную схему. Начало координат расположим в крайнем левом сечении балки.

Из условий равновесия балки найдем
Начало координат совпадает с заделкой. В начале координат прогиб и угол поворота =0.
Уравнение упругой линии имеет вид
Полагая, что , определим прогиб свободного конца балки
Знак «минус» показывает, что перемещение направлено вниз.
Из условия получим

№8

Консольная балка длиной нагружена моментом Поперечное сечение балки прямоугольник: Модуль упругости материала Радиус кривизны балки в сечении I–I равен ___ (м).

			3,6
			5,2
			4,8

Решение:
Балка испытывает чистый изгиб. Значение изгибающего момента в любом сечении Следовательно, балка изгибается по окружности. Для определения радиуса кривизны воспользуемся формулой
, откуда .
– жесткость поперечного сечения балки на изгиб. Осевой момент инерции сечения .
После вычислений найдем

№9

Однопролетная балка длиной l, высотой h нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Радиус кривизны нейтрального слоя балки в середине пролета равен . Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Максимальное нормальное напряжение в балке равно … (Влияние поперечной силы на изменение кривизны не учитывать).

Решение:
При изгибе балки кривизна нейтрального слоя связана с изгибающим моментом и жесткостью поперечного сечения на изгиб соотношением
Следовательно, в середине пролета, в котором возникает максимальный изгибающий момент, имеем
Максимальное нормальное напряжение найдем по формуле
Учитывая, что , получим

№10

Консольная балка длиной l нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Прогиб свободного конца балки по абсолютной величине равен …

Решение:
Начало координат выберем на левом конце балки. Рассматривая равновесие левой части консоли, составим выражение для изгибающего момента в произвольном сечении с координатой z.


Запишем дифференциальное уравнение упругой линии балки:
, или
Проинтегрируем его дважды:


Произвольные постоянные интегрирования найдем из граничных условий (условий закрепления сечений балки). Прогиб и угол поворота сечения в заделке равны нулю: и Откуда
Окончательно получим

Данное уравнение позволяет определить перемещение в любом сечении балки.
Прогиб свободного конца консоли равен:
Знак «минус» показывает, что перемещение направлено вниз и не совпадает с положительным направлением оси w.

№11

Прогиб на свободном конце консоли не должен превышать от ее длины. Модуль упругости материала длина Из условия жесткости размер поперечного сечения b равен ___________ см.

Решение:
Прогиб свободного конца консоли
Составим условие жесткости:
Учитывая, что найдем
После вычислений размер

№12

Балка длиной 2l нагружена моментами и . Жесткость поперечного сечения балки на изгиб по длине постоянна. Прогиб свободного конца балки равен нулю, если отношение равно …

Решение:
Для определения прогиба свободного конца балки используем принцип независимости действия сил и интегралы Мора, которые вычислим способом Верещагина. Нагрузим балку моментом , а затем − и построим эпюры изгибающих моментов.


К сечению, прогиб которого определяем, прикладываем единичную силу и строим эпюру изгибающего момента. Перемножая эпюры М и , суммируя результаты и приравнивая его нулю получим уравнение
.
Откуда

№13

Балка длиной l в середине пролета нагружена силой F. Размеры поперечного сечения по длине балки не меняются. Модуль упругости материала Е задан. Угол поворота сечения В равен …

Решение:
При решении задачи используем интегралы Мора, которые вычислим по способу Верещагина. Построим эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки и от единичного момента, приложенного к сечению В (эпюры построены на сжатом слое).

Перемножим эпюры:

Знак «плюс» показывает, что сечение В поворачивается в направлении единичного момента (по часовой стрелке).

Поиск по сайту: