 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Построение математической модели
Методы и модели в экономике
Лектор
Филатов
Юрий Анатольевич
Важным фактором, определяющим роль математики в различных приложениях, является возможность описания наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта на языке математических символов и соотношений. Такое описание принято называть математической моделью или формализацией.
Любое ответственное решение в экономике требует проведения эксперимента. При наличии математической модели мы избавляемся от необходимости дорогостоящих экспериментов, как правило, сопровождаемых многократными пробами и ошибками. Это можно делать на модели, которую, условно говоря, можно резать и перекраивать неоднократно без всяких капиталовложений. Это одно достоинство модели.
Другое заключается в том, что формализация дает возможность сформулировать реальную задачу как математическую и позволяет воспользоваться для анализа универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика проводит детальный количественный анализ модели, помогает предсказать, как поведет себя объект в различных условиях и дает рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы.
• анализ экономических объектов и процессов;
• прогнозирование экономических процессов;
• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.
Построение математической модели
Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического объекта или процесса, при котором экономические закономерности выражены в абстрактном виде с помощью математических соотношений.
Основные принципы составления модели сводятся к следующим двум концепциям:
1. При формулировании задачи необходимо достаточно широко охватить моделируемое явление. В противном случае модель не будет отражать суть дела.
2. Модель должна быть настолько проста, насколько это возможно. Модель должна быть такова, чтобы ее можно было оценить, проверить и понять, а результаты, полученные из модели должны быть ясны как ее создателю, так и лицу, принимающему решение.
Сложность экономических систем превышает порог, до которого строится точная математическая модель. Поэтому неудивительно, что сколько-нибудь универсальных методов построения математических моделей в экономике не существует. Можно говорить лишь о некоторых общих принципах и требованиях к таким моделям. Перечислим наиболее основные из них:
· адекватность (соответствие модели своему оригиналу),
· объективность (соответствие научных выводов реальным условиям),
· простота (не засоренность модели второстепенными факторами),
· чувствительность (способность модели реагировать изменению начальных параметров),
· устойчивость (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи),
· универсальность (широта области применения).
Практическое значение модель приобретает тогда, когда ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта.
Пример 1. Фирма выпускает 
видов продукции и использует при этом 
ресурсов, например оборудование, рабочую силу, сырье и т.д. Известны объемы 
соответствующих ресурсов на год. Известна технологическая матрица 
, где 
– затраты i -го ресурса на производство единицы j -го вида продукции. Известна цена за единицу продукции 
. Как наладить производство, чтобы получить максимальный доход от продажи продукции?
Решение. Построим математическую модель данной экономической ситуации. Для этого введем в рассмотрение управляющие переменные, определяющие доход фирмы 
, составим целевую функцию и ограничения задачи.
Целевая функция имеет вид
,
Пример 2. Бизнесмен открыл счет в банке, положив на счет сумму S 0 под определенный банковский процент r. Необходимо составить уравнение, описывающее изменение суммы на счету бизнесмена от цикла к циклу.
Решение. Банк устанавливает свой процент прироста суммы r и длительность цикла Т, по истечении которого сумма на счету должна быть увеличена. Обычно в банках время Т = 1 год, хотя длительность цикла может быть другой, например, Т = 1 квартал. Сумма на счету бизнесмена в конце первого цикла будет равна
S 1 = S 0 (1 + r 1),
где r1 > 0 банковский процент на первом цикле, например r 1 = 0,15, что означает 15% годовых (или квартальных).
По истечении второго цикла сумма будет равна
S 2 = S 1 (1 + r 2),
по истечении третьего цикла сумма составит
S 3 = S 2 (1 + r 3),
и т.д., на произвольном цикле
Si = Si -1 (1 + ri). (1)
Соотношение (1) называется однородным разностным уравнением первого порядка и описывает изменение суммы на счету бизнесмена в банке на любом цикле i. Для того чтобы вычислить сумму Si по этому уравнению, надо знать значение банковских процентов r 1, r 2,¼ ri на всех циклах и применить уравнение (1) i раз.
Если банковский коэффициент ri не зависит от номера цикла, т.е. ri = r = const, то сумма на счету в конце i- ого цикла составит:
Si = Si -1 (1 + r) = Si - 2 (1 + r)2 = Si - 3 (1 + r)3 = ¼ = S 0 (1 + r) i = kcл S 0, (2)
где kсл = (1 + r)i - сложный банковский процент.
По формуле (2) сумма на счету может быть определена на любом цикле. Эта формула может быть применена только при r = const, т.е. когда банковский процент r не зависит от номера цикла i.
Поиск по сайту: