Основы финансовой математики

Занимаясь финансовым управлением, финансовый менеджер имеет дело с финансовыми активами (например, акциями и облигациями), стоимость которых непосредственно зависит от будущих потоков денежных средств.

Процесс оценки будущих денежных потоков называется анализом дисконтированного денежного потока (Discounted Cash Flow, DCF). Поскольку практически все финансовые решения сопряжены с оценкой прогнозируемых денежных потоков, анализ DCF имеет исключительно важное значение. Впервые эта концепция была разработана Дж. Б.Уильямсом. Этот метод был применен М. Дж. Гордоном для управления финансами корпорации, он также использовал его в исследованиях цены капитала фирмы.

Анализ дисконтированного денежного потока основан на понятии временной ценности денег. Основная идея заключается в следующем: любая денежная единица сегодня имеет большую ценность по сравнению с этой же денежной единицей, которая должна или может быть получена спустя некоторое время, поскольку она может быть инвестирована в финансовые и имущественные активы с перспективой получения в будущем дополнительного дохода. Естественно, что существенную роль играет анализ риска будущих поступлений.

Дисконтирование (discounting) – приведение стоимости будущих затрат и доходов к нынешнему периоду времени, установление сегодняшнего эквивалента суммы, выплачиваемой в будущем.

Сложность анализа инвестиций заключается в необходимости сопоставления двух потоков – затрат и будущих доходов. Полезность доходов, получаемых в будущем, считается меньшей, чем сегодняшняя: на текущие доходы в будущем можно получить проценты, поэтому необходимо пересчитывать будущие поступления методом дисконтирования. При разработке проекта (определении ценности проекта) следует сравнить капиталовложения, которые предстоит сделать сейчас, с дополнительной выгодой, которую принесет осуществление проекта впоследствии. Для этого нужно рассчитать текущую (настоящую) ценность будущих доходов. Современная стоимость будущей суммы определяется с помощью дисконтирующего множителя, зависящего от нормы банковского процента и срока (периода) дисконтирования. В финансовой практике обычно используются заранее подготовленные таблицы дисконтирующего множителя по годам в зависимости от нормы доходности и банковского процента.

Дисконтированную стоимость (настоящую стоимость будущих поступлений (present value)) можно рассчитать по формуле:

,

коэффициент дисконтирования

где FV (future value) – стоимость будущих денег

n – количество периодов

i (interest rate) – ставка дисконтирования

Пример. Определить сегодняшний эквивалент 20 тыс. руб., которые понадобятся через 2 года, если учетная ставка процента равна 18 % годовых, настоящая (текущая) стоимость составит:

Это означает, что, имея сегодня 14,3 тыс. руб., можно положить их в банк под 18 % годовых и получить через 2 года 20 тыс. руб.

Важнейшим финансовым решением является выбор ставки дисконтирования, т. е. нормы процента.

Ставка дисконтирования должна отражать влияние трех факторов:

1) степень риска конкретного денежного потока;

2) отражать среднюю доходность, сложившуюся в экономике данной страны;

3) периодичность поступления денежных потоков (степень дискретности), т. е. временной интервал, на котором рассматриваются данные потоки (год, полугодие или другой промежуток времени).

Начисление процента возможно простым способом, тогда он называется простым процентом, или усложненным способом, в этом случае говорят о сложном проценте.

При простом проценте оплата за кредит рассчитывается по формуле:

,

где (interest) - сумма денежных средств, которые необходимо выплатить в качестве процентов по кредиту при начисление простого процента;

Cr (credit) – основная сумма долга;

i (interest rate) – процентная ставка;

n – период времени

Пример. Предприятие планирует взять кредит в размере 2 тыс. долл. на 3 года под простой процент 15% годовых, то сумма, которую необходимо выплатить по обслуживанию этого долга, составит: 2000 * 0,15 * 3 = 900 (долл.).

Однако возможны иные условия предоставления денег взаем, а именно с начислением сложных процентов. В практике финансового менеджмента используются такие понятия, как компаундинг и аннуитет, основанные на методе дисконтирования.

Компаундинг – начисление сложного процента, операция, обратная дисконтированию. Компаундинг осуществляется для определения будущей стоимости сегодняшней суммы денег.

Сложный процент (compounding interest) – представляет собой общую стоимость дохода от инвестирования или депозита (вклада), рассчитанную как сумма средств, вложенных в проект или в банк, плюс процент на вложенную сумму. Причем в каждом следующем году процент начисляется не на первоначальную сумму, а на уже увеличенную

сумму.

Ints (interests) – сумма денег, которую нужно выплатить в качестве процентов по кредиту, при сложном проценте;

Cr (credit) – основная сумма;

i (interest rate) – процентная ставка;

n – период времени (число периодов, лет).

Пример. Предприятие планирует взять кредит в размере 2 тыс. долл. на 3 года под сложный процент 15 %

годовых. Сумма, которую необходимо выплатить по обслуживанию долга, составит:

2000(1 + 0,15)3 - 2000 = 1041,75 (долл.).

Очевидно, что чем чаще начисляется процент, тем выше сумма сложного процента.

Пример. Если сумма в 500 долл. дана взаймы на два года под 12 % годовых при поквартальном расчете сложного процента, то показатель количества периодов будет равен 4 • 2 = 8, а выплата процента составит 12:4

= 3%. Отсюда сумма процента получается равной 500(1,03 - 1) = 133,38 долл. Если бы мы рассчитывали простой процент, то сумма оплаты составила бы 120 долл.

Начисление сложного процента и определение будущей стоимости сегодняшних денег при сложном проценте осуществляется по формуле:

PV (present value) – настоящая (текущая) стоимость денег через п периодов;

i (interest rate) – ставка дисконтирования;

n – число периодов.

Пример. Будущая стоимость 1 тыс. долл. через 3 года при ставке процента, равной 5% годовых, равна: 1000 (1 + 0,05)3 = 1157,6 (долл.).

Начисление сложного процента осуществляется следующим образом: если сегодня вы положили в банк 1 тыс.долл. под 5 % годовых, то через год вы будете иметь на счету 1050 долл.; далее 5 % будут начисляться уже не на первоначальную сумму, а на 1050 долл.; в конце второго года на вашем счету сумма составит 1102,5 долл.; за третий год 5 % будут начисляться именно на эту сумму, и в конце третьего года вы получите 1157,6 долл.

В финансовом менеджменте, а также в других экономических расчетах, метод дисконтирования часто используется для определения стоимости актива, приносящего одинаковый ежегодный доход. Этот метод применяется в том случае, если невозможно определить стоимость этого актива другим способом. Для этого рассчитывается его капитализированная стоимость.

Капитализированная стоимость – денежный эквивалент актива, который приносит регулярный доход, рассчитываемый исходя из преобладающих процентных ставок.

Капитализированную стоимость можно представить формулой:

где Ra (annual revenue) – сумма ежегодного дохода;

i (interest rate) – ставка дисконтирования;

n – число периодов.

Пример. Для того чтобы определить стоимость актива, например участка земли, который при сдаче в аренду приносит 4 тыс. долл. ежегодно в виде арендной платы, необходимо разделить эту сумму на ставку дисконта, например 5 %, тогда капитализированная стоимость данного участка равна:

Это означает, что вы можете продать данный участок за 80 тыс. долл., положить эту сумму в банк под 5 % годовых и получать ежегодно 4 тыс. долл. В данном случае этот доход выступает в качестве аннуитета.

Капитализированная стоимость не всегда отражает истинную стоимость. Смысл определения капитализированной стоимости заключается в том, чтобы понять, сколько нужно денег положить в банк, чтобы они приносили требуемые доходы. Можно сказать, что определение капитализированной стоимости актива представляет собой частный случай дисконтирования при бессрочной сдаче актива в аренду.

Капитализированную стоимость можно определить также как частный случай аннуитета.

Аннуитет (annuity) – ежегодный платеж; ряд или один из ряда равных по сумме платежей, уплачиваемых через равные промежутки времени; равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определенные промежутки времени в счет погашения полученного кредита, займа или процентов по нему. Аннуитет часто определяют как ренту за пользование деньгами.

Первоначально этот термин означал платежи, осуществляемые один раз в год, но сейчас он употребляется применительно к любым промежуткам времени, т. е. ежеквартальным, ежемесячным и т. д. (например, арендная плата, страховые премии и т. д.). С помощью дисконтирования можно определить настоящую (текущую) стоимость будущего аннуитета по формуле:

где PVa (present value of annuity) – текущая стоимость аннуитета;

An (annuity) – аннуитет;

n – количество периодов;

i (interest rate) – ставка дисконтирования.

Пример. Вам предложили положить в банк на 3 года некую сумму под 4 % годовых, которая будет приносить ежегодный доход в 1 тыс. долл. Для того чтобы определить сегодняшнюю стоимость будущих доходов, необходимо привести их к текущему моменту времени:

Поиск по сайту: