|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ТЕОРЕТИЧНИЙ ВСТУП. Методи апроксимації та інші методи аналітичного опису сигналів не вирішують в повному об'ємі завдань математичного моделювання складних сигналівМетоди апроксимації та інші методи аналітичного опису сигналів не вирішують в повному об'ємі завдань математичного моделювання складних сигналів, і, отже, завдань проходження сигналів через різні ланки. В деякій мірі ці проблеми вирішуються за допомогою спектральної теорії сигналів. Узагальненою спектральною теорією називають сукупність методів представлення сигналів у вигляді суми ортогональних складових (1)
Методи, що використовують представлення сигналів у вигляді коливань (тобто функцій часу) і спектрального розкладу на синусоїдальні і косинусоїдальні складові (це перетворення Фур'є) набули найбільшого поширення. Узагальнена спектральна теорія досліджує загальні закономірності спектрального аналізу для систем базисних функцій і розглядає особливості вибору базисних систем при вирішенні завдань передачі і обробки сигналів. Залежність (1) називають розкладом сигналу за системою базисних функцій. До системи базисних функцій є такі вимоги: для будь-якого сигналу ряд (1) повинен сходитися; функції повинні мати просту аналітичну форму; коефіцієнти повинні обчислюватися відносно просто. Цим трьом умовам відповідають системи ортогональних функцій. Умова ортогональності функцій є такою: (2)
При (3) Число називають нормою базисної функції. Нормована базисна функція
(4) Система нормованих базисних функцій, що задовольняє одночасно і умові ортогональності, і умові нормування: (5) де називається ортонормованою. Якщо під або розуміти струм або напругу, та рівність (3) має сенс енергії сигналу, виділеній сигналом на опорі 1 Ом за час (t2-t1), а рівність (2) має сенс енергії взаємодії сигналів і . Таким чином можна визначити фізичний зміст понять ортогональності і норми функцій: ортогональні сигнали не взаємодіють між собою, а енергія нормованого сигналу дорівнює 1. Вибір базисних ортонормованих функцій - одне з відповідальних завдань рішення якого залежить від характеру перетворень сигналів в системі. Коефіцієнти є ефективними значеннями складових спектру (узагальнених гармонік), тому середня потужність сигналу що виділяється на опорі 1 Ом дорівнює: (6)
Співвідношення (6) називають рівністю Парсеваля. З нього виходить, що потужність сигналу дорівнює сумі потужностей всіх складових спектру. З математики відомі періодичні функції sin і cos, що описують гармонічні коливання. Будемо вважати, що ці функції є ортогональними і, одночасно, визначимо норму цих функцій. Для цього скористаємося співвідношеннями (2) і (3): , (7)
де T=2p/w0 - період коливання, а j=0,1,2..., i=0,1,2... - цілі числа. Співвідношення, подібні (7) мають місце як для функції sin, так і для cos, оскільки sinwt=cos(wt -p/2), а також для випадку, коли, наприклад, , а . З (7) витікає, що ці гармонічні функції є ортогональними з нормою cj=T/2, які визначаються періодом їх повторення. Отже, система ортонормованих гармонічних функцій відповідно (4) буде мати вигляд: (8)
Будь-який періодичний сигнал S(t) = S(t+T) може бути представлений рядом з функцій (8)
(9) де j=0,1,2,3... (10) Ряд (9) називають тригонометричним рядом Фур'є з коефіцієнтами (10). В окремому випадку парної періодичної функції, коли S(t)=S(-t) з (10) витікає, що bj=0, отже сигнал S(t) розкладається лише по косинусах. У випадку непарної функції, коли S(-t)=-S(t), маємо aj=0, тоді ряд складається лише з синусоїдальних гармонік, якщо S(t) не відноситься ні до парних ні до непарних то в ряді присутні як аj так і bj. Із сказаного виходить, що періодичні коливання повністю визначаються коефіцієнтами всіх гармонік. Тобто амплітуди і фази гармонік, які залежать від значень частоти, кратних основній частоті (частоті повторення сигналу S(t)), дають еквівалентне представлення періодичних функцій часу в частотній області.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |