ТЕОРЕТИЧНИЙ ВСТУП. Методи апроксимації та інші методи аналітичного опису сигналів не вирішують в повному об'ємі завдань математичного моделювання складних сигналів

Методи апроксимації та інші методи аналітичного опису сигналів не вирішують в повному об'ємі завдань математичного моделювання складних сигналів, і, отже, завдань проходження сигналів через різні ланки. В деякій мірі ці проблеми вирішуються за допомогою спектральної теорії сигналів.

Узагальненою спектральною теорією називають сукупність методів представлення сигналів у вигляді суми ортогональних складових

(1)

Методи, що використовують представлення сигналів у вигляді коливань (тобто функцій часу) і спектрального розкладу на синусоїдальні і косинусоїдальні складові (це перетворення Фур'є) набули найбільшого поширення. Узагальнена спектральна теорія досліджує загальні закономірності спектрального аналізу для систем базисних функцій і розглядає особливості вибору базисних систем при вирішенні завдань передачі і обробки сигналів.

Залежність (1) називають розкладом сигналу за системою базисних функцій. До системи базисних функцій є такі вимоги: для будь-якого сигналу ряд (1) повинен сходитися; функції повинні мати просту аналітичну форму; коефіцієнти повинні обчислюватися відносно просто. Цим трьом умовам відповідають системи ортогональних функцій. Умова ортогональності функцій є такою:

(2)

При

(3)

Число називають нормою базисної функції. Нормована базисна функція

(4)

Система нормованих базисних функцій, що задовольняє одночасно і умові ортогональності, і умові нормування:

(5)

де називається ортонормованою.

Якщо під або розуміти струм або напругу, та рівність (3) має сенс енергії сигналу, виділеній сигналом на опорі 1 Ом за час (t₂-t₁), а рівність (2) має сенс енергії взаємодії сигналів і . Таким чином можна визначити фізичний зміст понять ортогональності і норми функцій: ортогональні сигнали не взаємодіють між собою, а енергія нормованого сигналу дорівнює 1.

Вибір базисних ортонормованих функцій - одне з відповідальних завдань рішення якого залежить від характеру перетворень сигналів в системі. Коефіцієнти є ефективними значеннями складових спектру (узагальнених гармонік), тому середня потужність сигналу що виділяється на опорі 1 Ом дорівнює:

(6)

Співвідношення (6) називають рівністю Парсеваля. З нього виходить, що потужність сигналу дорівнює сумі потужностей всіх складових спектру.

З математики відомі періодичні функції sin і cos, що описують гармонічні коливання. Будемо вважати, що ці функції є ортогональними і, одночасно, визначимо норму цих функцій. Для цього скористаємося співвідношеннями (2) і (3):

, (7)

де T=2p/w₀ - період коливання, а j=0,1,2..., i=0,1,2... - цілі числа. Співвідношення, подібні (7) мають місце як для функції sin, так і для cos, оскільки sinwt=cos(wt -p/2), а також для випадку, коли, наприклад, , а . З (7) витікає, що ці гармонічні функції є ортогональними з нормою c_j=T/2, які визначаються періодом їх повторення.

Отже, система ортонормованих гармонічних функцій відповідно (4) буде мати вигляд:

(8)

Будь-який періодичний сигнал S(t) = S(t+T) може бути представлений рядом з функцій (8)

(9)

де j=0,1,2,3... (10)

Ряд (9) називають тригонометричним рядом Фур'є з коефіцієнтами (10).

В окремому випадку парної періодичної функції, коли S(t)=S(-t) з (10) витікає, що b_j=0, отже сигнал S(t) розкладається лише по косинусах. У випадку непарної функції, коли S(-t)=-S(t), маємо a_j=0, тоді ряд складається лише з синусоїдальних гармонік, якщо S(t) не відноситься ні до парних ні до непарних то в ряді присутні як а_j так і b_j.

Із сказаного виходить, що періодичні коливання повністю визначаються коефіцієнтами всіх гармонік. Тобто амплітуди і фази гармонік, які залежать від значень частоти, кратних основній частоті (частоті повторення сигналу S(t)), дають еквівалентне представлення періодичних функцій часу в частотній області.

Поиск по сайту: