Математическое описание сигналов

Сигналы могут быть объектами теоретических исследований и практического анализа только в том случае, если указан способ их математического описания – математическая модель сигнала. Математическое описание позволяет абстрагироваться от физической природы сигнала и материальной формы его носителя, проводить классификацию сигналов, выполнять их сравнение, устанавливать степень тождества, моделировать системы обработки сигналов. Как правило, описание сигнала задается функциональной зависимостью определенного информационного параметра сигнала от независимой переменной (аргумента) – s(х), y(t) и т.п. Такая форма описания и графического представления сигналов называется динамической (сигнал в реальной динамике его поведения по аргументам). Функции математического описания сигналов могут быть как вещественными, так и комплексными. Выбор математического аппарата описания определяется простотой и удобством его использования при анализе и обработке сигналов.

Отметим двойственность применения описания сигналов функциями типа s(t) и т.п. С одной стороны s(t) – это величина, равная значению функции в момент времени t. С другой стороны мы обозначаем через s(t) и саму функцию, т.е. то правило, по которому каждому значению t ставится в соответствие определенная величина s. В большинстве аналитических выражений это не вызывает недоразумений и при однозначном соответствии значений сигналов их аналитическим выражениям принимается по умолчанию.

Теория анализа и обработки физических данных базируется на математических моделях соответствующих физических полей и физических процессов, на основе которых создаются математические модели сигналов. Математические модели сигналов дают возможность обобщенно, абстрагируясь от физической природы, судить о свойствах сигналов, предсказывать изменения сигналов в изменяющихся условиях, заменять физическое моделирование процессов математическим. С помощью математических моделей имеется возможность описывать свойства сигналов, которые являются главными, определяющими в изучаемых процессах, и игнорировать большое число второстепенных признаков. Знание математических моделей сигналов дает возможность классифицировать их по различным признакам, характерным для того или иного типа моделей. Так, сигналы разделяются на неслучайные и случайные в зависимости от возможности точного предсказания их значений в любые моменты времени. Сигнал является неслучайным и называется детерминированным, если математическая модель позволяет осуществлять такое предсказание. Детерминированный сигнал задается, как правило, математической функцией или вычислительным алгоритмом, а математическая модель сигнала может быть представлена в виде

s = F(t, z, w,…; A, B, C,…),

где s – информативный параметр сигнала; t, z, w, … – независимые аргументы (время, пространственная координата, частота и др.); A, B, C… – параметры сигналов.

Модель должна быть, по возможности, проще, минимизирована по количеству независимых аргументов и адекватна изучаемому процессу, что во многом предопределяет результаты измерений. Рассмотрим этот вопрос на примере физических полей.

Под физическим полем понимают собственное или индуцированное определенным внешним воздействием распределение какой-либо физической величины, создаваемое объектом или структурой в пространстве, во времени или по любому другому аргументу (независимой переменной). В простейшем случае физический сигнал – это изменение какой-либо составляющей физического поля, т.е. сечение поля по одному из аргументов. В пределе все физическое поле в целом может рассматриваться как первичный многомерный сигнал в прямом физическом отображении, с которого путем измерений могут сниматься формализованные копии определенных составляющих (сечений) сигнала на материальные носители информации.

Физическим полям в определенных условиях их регистрации соответствуют определенные математические модели сигналов, т.е. их описание на каком-либо формальном языке. Математическое описание не может быть всеобъемлющим и идеально точным и, по существу, всегда отображает не реальные объекты, а их упрощенные (гомоморфные) модели. Модели могут задаваться таблицами, графиками, функциональными зависимостями, уравнениями состояний и переходов из одного состояния в другое и т.п. Формализованное описание может считаться математической моделью оригинала, если оно позволяет с определенной точностью прогнозировать состояние и поведение изучаемых объектов путем формальных процедур над их описанием.

Неотъемлемой частью любой математической модели сигнала является область определения сигнала, которая устанавливается интервалом задания независимой переменной. Примеры задания интервала для переменных:

a ≤ x ≤ b, x пренадлежит [a, b].

a < y ≤ b, y пренадлежит (a, b].

a < z < b, z пренадлежит (a, b).

Пространство значений независимой переменной обычно обозначается через индекс R. Так, например, R=(-∞,+∞), x пренадлежит R.

Кроме задания области определения сигнала могут быть также заданы виды численных значений переменных (целые, рациональные, вещественные, комплексные).

Математические модели полей и сигналов на первом этапе обработки и анализа результатов наблюдений должны позволять в какой-то мере игнорировать их физическую природу и возвращать ее в модель только на заключительном этапе интерпретации данных.

Поиск по сайту: