Первый закон термодинамики и его применение к изопроцессам

При анализе работы, проектировании и проведении расчётов тепловых машин, таких как двигатели внутреннего сгорания (ДВС), компрессоры и т.п. возникает необходимость аналитически определять их основные характеристики: мощность, коэффициент полезного действия и ряд других. Рабочим телом в таких устройствах часто является воздух, который совершает работу (ДВС) или над ним совершается работа (компрессор). При этом процессы, происходящие с воздухом или другим газом, являются повторяющимися, т.е. циклическими. Изменения в состоянии рабочего тела можно представить одним из термодинамических процессов: быстрое, т.е. адиабатическое сжатие или расширение, изохорное, изобарное или изотермическое нагревание или охлаждение и т.д. само же рабочее тело может совершать работу (или над ним совершается работа) и участвовать в теплообмене с окружающей средой. Для количественного описания таких процессов широко применяются законы термодинамики и уравнения состояния идеального газа.

Допустим, что некоторая система (рабочее тело – газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладая внутренней энергией U ₁, получила некоторое количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, с внутренней энергией U ₂, совершила работу A над внешней средой. Количество теплоты считается положительным, когда оно подводится к системе, а работа – положительной, когда система совершает ее против внешних сил. Опыт показывает, что в соответствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из первого состояние во второе изменение внутренней энергии D U = U ₂ – U ₁ будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой A, совершенной системой против внешних сил:

D U = Q – A,

или

Q = D U + A. (1.1)

Уравнение (1.1) выражает первый закон термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение её внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил. Выражение (1) в дифференциальной форме будет иметь вид

d Q = d U + d A,

или в более корректной форме

d Q = d U + d A, (1.2)

где d U – бесконечно малое изменение внутренней энергии системы,

d Q – бесконечно малое количество теплоты,

d A – элементарная (физически малая) работа.

В этом выражении d U является полным дифференциалом (поскольку зависит только от внутреннего состояния рабочего тела), а d Q и d A таковыми не являются, поскольку зависят от вида и хода совершенного над газом процесса.

Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К (1 °С):

.

Единица удельной теплоемкости – джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг×К)).

Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

, (1.3)

где n = m/M – количества вещества.

Различают теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении, если в процессе нагревания вещества его объём или давление поддерживается постоянным.

Запишем выражение первого закона термодинамики (1.2) для 1 моль газа, используя выражение (1.3) и учитывая, что d A = p d V:

C _m d T = d U _m + p d V _m. (1.4)

Если газ нагревается при постоянном объёме, то работа внешних сил равна нулю и сообщаемая газу извне теплота идёт только на увеличение его внутренней энергии:

, (1.5)

т.е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме C_V равна изменению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К.

Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (1.4) можно записать в виде

.

Учитывая, что не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит от p, ни от V, а определяется лишь температурой T) и всегда равна C_V (см. (1.5)), и, дифференцируя уравнение Клапейрона–Менделеева pV _m = RT по T (при p = const), получаем

C_p = C_V + R,

или

C_p – C_V = R. (1.6)

Выражение (1.6) называется уравнением Майера; оно показывает, что C_p всегда больше C_V на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется ещё дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа.

Среди равновесных процессов, происходящих с термодинамическими системами, выделяют изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния (температура, объем, давление или иные величины) сохраняется постоянным. Рассмотрим кратко основные изопроцессы.

Изохорный процесс (V = const). Диаграмма этого процесса (изохора) в координатах (p, V) изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 1.1), где процесс 1 – 2 есть изохорное нагревание, а 1 – 3 – изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т.е.

d A = p d V = 0.

Из первого закона термодинамики (1.2) для изохорного процесса следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идёт на увеличение его внутренней энергии:

d Q = d U.

Согласно формуле (1.5), d U _m = C_V d T. Тогда для произвольной массы газа получим

. (1.7)

Изобарный процесс (p = const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах (p, V) изображается прямой, параллельной оси абсцисс (оси V). При изобарном процессе работа газа при увеличении объема от V ₁ до V ₂ равна

(1.8)

и определяется площадью заштрихованного прямоугольника (рис. 1.2). Если использовать уравнение Клапейрона–Менделеева для двух состояний (1 и 2), то

, ,

откуда

.

Тогда выражение (1.8) для работы изобарного расширения примет вид

. (1.9)

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты

его внутренняя энергия возрастает на величину (согласно формуле (1.5))

.

При этом газ совершит работу, определяемую выражением (1.9).

Изотермический процесс (T = const). Изотермический процесс совершается при постоянной температуре и описывается законом Бойля–Мариотта:

pV = const.

Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах (p, V) представляет собой гиперболу (см. рис. 1.3), расположенную тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс (1 – T ₁, 2 – T ₂, 3 – T ₃; T ₁ < T ₂ < T ₃).

Найдём работу изотермического расширения

.

Так как при T = const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:

,

то из первого закона термодинамики (d Q = d U + d A) следует, что для изотермического процесса d Q = d A, т.е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил. Следовательно, для того, чтобы при расширении газа температура не понижалась, к газу при изотермическом процессе необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.

Адиабатическим (или адиабатным) называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (d Q = 0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Например, быстрое сжатие горючей смеси или её быстрое расширение после воспламенения топлива в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, сжатие воздуха в компрессоре (компрессоры для получения сжатого воздуха, компрессоры в холодильных установках и т.п.).

Из первого закона термодинамики (d Q = d U + d A) для адиабатного процесса следует, что

d A = – d U, (1.10)

т.е. работа совершается за счет изменения (уменьшения) внутренней энергии системы (рабочего тела).

Используя выражения для работы идеального газа d A = p d V и (1.5) для C_V, для произвольной массы газа перепишем уравнение (1.10) в виде

. (1.11)

Дифференцируя уравнение состояния идеального газа , получим

. (1.12)

Исключим из (1.11) и (1.12) температуру T:

.

Разделив переменные и учитывая, что отношение C_p/C_V = k – величина безразмерная, найдем

.

Интегрируя это уравнение в пределах от p ₁ до p ₂ и, соответственно, от V ₁ до V ₂, а затем, потенцируя, придем к выражению

p ₂ /p ₁ = (V ₁ /V ₂) ^k или .

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то можно записать

pV ^k = const. (1.13)

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным (T, V) или (T, p) исключим из (1.13) с помощью уравнения Клапейрона–Менделеева

соответственно давление или объем, будем иметь:

, (1.14)

, (1.15)

Выражения (1.13)–(1.15) представляют собой уравнения адиабатического процесса. В этих уравнениях безразмерная величина k называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Из курса общей физики (раздел «Термодинамика») известно, что показатель адиабаты может быть задан следующим образом:

, (1.16)

здесь i – число степеней свободы, которое зависит от рода газа, точнее от строения его молекул. Для одноатомных газов (He, Ne, Hg – пары ртути и др.), хорошо удовлетворяющих условию идеальности (т.е. достаточно разреженные), i = 3, k = 1,67. Для двухатомных газов (H₂, N₂, O₂ и др.) i = 5, k = 1,4. Для многоатомных газов (с числом атомов три и более, таких как CO₂, H₂O – пары воды, этан, метан и др.) i = 6, k = 1,33. Поскольку в нашем случае рассматриваемым рабочим телом является воздух в составе которого, как известно, доминируют азот – 78 % и кислород – 21 %, то для него принимается i = 5, k = 1,4.

Отметим, что число степеней свободы, проявляющееся в значениях теплоемкостей и, соответственно, влияющее на показатель адиабаты k, у двухатомных газов (и многоатомных) зависит от температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы. Поэтому по закону равномерного распределения энергии по степеням свободы для воздуха, как смеси двухатомных газов должно выполняться i = 6, k = 1,33, C_V = R. Экспериментальное исследование молярной теплоемкости C_V водорода (рис. 1.4) показало, что C_V = R при низкой температуре (до»50 К), при комнатной C_V = R, и при очень высокой (~10⁴ К) C_V = R. Аналогично зависят от температуры теплоемкости азота и кислорода.

Такое поведение теплоемкости объясняется квантованием энергии вращения и колебаний молекул. Вращательная энергия при комнатных температурах уже оказывается «возбужденной» и полностью «включенной», а колебательная начинает возбуждаться только при температурах ~10³ К и на полной теплоемкости практически не сказывается при комнатных температурах и даже при нагревании воздуха до температур в несколько сотен °С (как в ДВС).

Диаграмма адиабатного процесса (адиабата) в координатах (p, V) изображается гиперболой (рис. 1.5), но идет более круто, чем изотерма. Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии 1–3 увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.

Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатном процессе. Запишем уравнение (1.10) в виде

.

Если газ адиабатически расширяется от объема V ₁ до V ₂, то его температура уменьшается от T ₁ до T ₂ и работа расширения идеального газа

. (1.17)

Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (1.14), выражение (1.17) для работы при адиабатическом расширении можно преобразовать к виду

.

Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении 1–2 (определяется площадью, заштрихованной на рис. 1.5), меньше, чем при изотермическом. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом – температура поддерживается постоянной за счет притока извне эквивалентного количества тепла.

Поиск по сайту: