Для звичайних диференціальних рівнянь

Метод степеневих рядів розв’язування задачі Коші

Теорія степеневих рядів може застосовуватись для побудови наближеного розв’язку відповідної задачі Коші. Вона є еталонною, оскільки з нею порівнюють точність різних чисельних методів при розв’язанні задачі Коші, зокрема метод рядів Тейлора дозволяє отримати наближення з будь-яким ступенем точності.

Звичайне диференціальне рівняння -го порядку символічно записують так:

, .

Початкові умови для диференціального рівняння задають в початковій точці

.

Тут – наперед задані числа. Це є задача Коші.

Даний метод розв’язує цю задачу у вигляді рядів Тейлора

, .

Де – невідомі коефіцієнти, які визначаються в процесі розв’язання. Перші коефіцієнтів знаходяться з початкових умов задачі Коші:

, , ,..., .

Для визначення всіх наступних коефіцієнтів , ,... слід використовувати диференціальне рівняння попередньо розв’язуючи його відносно старшої похідної :

, .

Якщо покласти в останньому рівнянні та прийняти попередні значення , отримаємо . Такий спосіб дозволяє знайти послідовно всі наступні значення коефіцієнтів задачі Коші. Реально побудований розв’язок містить частину розв’язку ряду Тейлора

, ,

де – ціла частина, яку можна вважати точною з наперед заданою точністю.

Приклад 1. Знайти перші сім членів розкладу в степеневий ряд розв’язку задачі Коші:

,

,

, .

Розв’язок задачі представимо у вигляді відрізку степеневого ряду:

.

Безпосередньо з початкових умов маємо

, .

Для визначення наступних коефіцієнтів , розв’яжемо рівняння відносно старшої похідної

.

Тепер використовуючи початкові умови, матимемо

.

Диференціюючи останні ліві і праві частини рівняння для , отримаємо:

,

,

,

.

Якщо тепер використати початкові умови та значення можна послідовно визначити всі величини , . Застосовуючи цю операцію чотири рази отримуємо наближений розв’язок задачі Коші. Отримуємо сім членів степеневого ряду, тобто

Звичайно існують і інші методи, що застосовують розкладання у степеневі ряди. Вони дозволяють знайти розв’язок з високою точністю, похибка має порядок . Але для цього необхідне попереднє задання та обчислення похідних високих порядків, що ускладнює розв’язок задачі. Тому розвиток отримали методи, що виключають необхідність обчислення похідних.

Контрольні запитання

1. Яке рівняння називається диференціальним рівнянням?

2. Яке диференціальне рівняння називається звичайним?

3. Що називається порядком диференціального рівняння?

4. Який вигляд має звичайне диференціальне рівняння -го порядку?

5. Що називається розв’язком звичайного диференціального рівняння?

6. Що являє собою розв’язок звичайного диференціального рівняння геометрично?

7. Що називається задачею Коші для звичайного диференціального рівняння?

8. Що називається розв’язком задачі Коші?

9. До якої групи методів належить метод степеневих рядів?

10. Що таке стала Ліпшиця?

11. Сформулювати теорему Пікара про існування та єдиність розв’зку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

12. Що таке ряд Тейлора?

13. В чому полягає суть методу степеневих рядів?

Поиск по сайту: