Нелинейная поляризованность

Теория линейной поляризованности устанавливает зависимость показателя преломления от частоты и приводит к следующему выражению комплексной диэлектрической восприимчивости:

,

где γ – коэффициент затухания, ω – частота падающего света, k - коэффициент квазиупругой силы, т ₀ – масса электронного облака. Удерживающая электрон около положения равновесия сила подчиняется закону Гука лишь при не слишком больших х. При больших х наблюдаются отступления от закона Гука, и колебания становятся нелинейными. Чтобы описать движение электрона в поле световой волны с учетом нелинейности, функцию разложим в ряд Тейлора:

.

Тогда уравнение движения принимает вид: , и поляризованность перестает быть линейной функцией напряженности

Если , то нелинейность колебаний проявляется за счет квадратичного по х члена, и уравнение записывается в виде: , где . Решая это уравнение методом возмущений, представим искомое уравнение в виде ряда , где - малые величины порядка , … относительно х ₀. Приравняв между собой члены одинакового порядка по , получаем уравнения:

(3.6.1)

Где точками обозначены уравнения для х ₂, х ₃, …, которые нами пока не рассматриваются. В линейном случае рассматривалась одна волна частоты ω, поскольку добавление волны другой частоты ничего не добавляло к картине образования поляризованности: поляризованность от двух волн равна сумме поляризованностей от каждой из волн. При учете нелинейности ситуация меняется. Так как линейно выражается через Е, а зависит от , то . Если Е выражается в виде суммы напряженностей полей с различными частотами, то зависит от попарного произведения этих напряженностей, т.е. является квадратичной функцией напряженностей. Поляризованность равна сумме линейной Р _л и нелинейной квадратичной Р _н⁽²⁾ поляризованностей: . Если решать уравнения, обозначенные точками, то для х ₂ получим решение, зависящее от Е ³, приводящее к поляризованности Р _н⁽³⁾, пропорциональной Е ³, и т.д. Символически этот результат можно записать в виде:

, - поляризованность представляется суммой членов, зависящих линейно, квадратично, кубично и т.д. от напряженности электрического поля.

Чтобы найти нелинейную квадратичную поляризованность, надо решить уравнения 3.6.1. Будем считать, что Е является суперпозицией нескольких гармонических вещественных полей с частотами ω₁, ω₂, ω₃, …:

, (3.6.2)

где пары комплексно-сопряженных членов одинаковых частот описывают вещественные поля соответствующей частоты. Комплексное число вещественно, если , поэтому, введя обозначение , выражение (3.6.2) представим в виде: . Подставив это выражение в уравнение (3.6.1), после преобразований получим:

. (3.6.3)

Отсюда линейная поляризованность , где N - линейная диэлектрическая восприимчивость для каждой частоты.

Подставив (3.6.1) в (3.6.3), приходим к уравнению для х ₁:

.

Отсюда нелинейная поляризованность , где - восприимчивость второго порядка, описывающая нелинейную квадратичную поляризованность.

Квадратичная поляризованность содержит члены с любыми комбинационными частотами . Например, для двух полей с частотами ω₁ и ω₂ она зависит от частот ω₁+ ω₂, , 2ω₁, 2ω₂.

3.6.3. Генерация гармоник. Пространственный синхронизм Напряженность электрического поля волны, распространяющейся в среде, создает в точках среды поляризованность, распространяющуюся в пространстве в виде волны поляризованности. В каждой точке среды изменяющаяся поляризованность порождает вторичную электромагнитную волну, которая складывается с волной, породившей поляризованность. Суммарная волна сама является источником поляризованности, которая в свою очередь порождает электромагнитную волну, вызывающую поляризованность, и так до бесконечности. Другими словами, волна поляризованности и электромагнитная волна взаимно обуславливают друг друга.

Выведем уравнение электромагнитной волны, учитывающее эту связь. В отсутствие источников () в немагнитной среде (μ=1) уравнения Максвелла имеют вид:

.

Продифференцировав обе части первого уравнения по времени, получаем:

. Подставив из второго уравнения , получаем: . Учитывая, что , запишем:

, (3.6.4)

где . Уравнение (3.6.4) описывает уравнение электромагнитной волны с учетом поляризованности. При учете только линейной поляризованности это уравнение является линейным. В этом случае взаимообусловленность волны поляризованности и электромагнитной волны приводит к изменению скорости распространения электромагнитной волны, в результате чего волна поляризованности и электромагнитная волна распространяются с одной и той же фазовой скоростью и в одинаковой фазе. Если, например, электромагнитная волна распространяется в направлении положительных значений z, то и волна поляризованности распространяется в том же направлении и с той же фазовой скоростью с/п (ω), где п (ω) – зависящий от частоты показатель преломления. Эти волны могут быть представлены в виде:

, (3.6.5)

. (3.6.6)

В каждой точке среды в результате изменения поляризованности порождается электромагнитная волна, амплитуда которой пропорциональна (3.6.6). Вторичные волны, возбуждаемые поляризованностью (3.6.6) в точках z` и z`` и затем распространяющиеся в направлении положительных значений z, записываются в виде:

, .

Очевидно, = , = , поэтому обе волны и , возникшие в различных точках, приходят в точку z в одной фазе и взаимно усиливаются. Именно это обстоятельство и обуславливает возможность распространения электромагнитной волны в среде и ее скорость. Можно сказать, что вторичные волны в линейной среде, излученные в различных точках, синхронны между собой.

Нелинейная квадратичная поляризованность содержит всевозможные комбинационные частоты первичных электромагнитных волн. Следовательно, порождаемые ею вторичные волны имеют те же самые всевозможные комбинационные частоты и распространяются с различными скоростями в соответствии с законом дисперсии.

Суперпозиция волн различных частот не представляет интереса, поскольку она не приводит к интерференции. Интерференция может происходить лишь между волнами одной и той же частоты, излученными в различных точках среды. Если в результате интерференции волны усиливаются, то можно говорить о существовании волны соответствующей частоты в среде, т.е. о генерации новой частоты как о нелинейном эффекте распространения волн в среде. Если же такого усиления нет, то никакой генерации новой частоты не наблюдается, хотя в каждой точке среды эти частоты генерируются.

Рассмотрим условия, при которых происходит генерация волн с частотами, отличающимися от частоты первичной электромагнитной волны. Они называются условиями пространственного синхронизма.

Запишем в явном виде волны поляризованности, порожденные квадратичной нелинейностью поляризованности. Если имеются две первичные электромагнитные волны с частотами ω₁и ω₂, ,

то порождаемая ими волна квадратичной поляризованности представляется так:

. (3.6.7)

Учитывая тригонометрические соотношения , , представим соотношение (3.6.7) можно представить в виде:

, (3.6.8)

где

, (3.6.9)

, (3.6.10)

, (3.6.11)

, (3.6.12)

, (3.6.13)

Таким образом, две электромагнитные гармонические волны порождают при наличии квадратичной нелинейности четыре волны поляризованности с частотами и статическую поляризованность .

Возникновение статической поляризованности называется оптическим детектированием по аналогии с детектированием радиосигналов выпрямлением тока.

Для удвоения частоты достаточно, чтобы в среде распространялась лишь одна волна с частотой , а волна с частотой может отсутствовать. Волна (3.6.10) может быть записана в виде:

, (3.6.14)

Где , - показатель преломления волныс частотой . Порождаемые волной поляризованности (3.6.14) в точках и электромагнитные волны описываются формулами: , ,

Причем после возникновения этих волн в точках и они распространяются со скоростью , отличной от скорости волны поляризованности . Учтем, что

Где . Тогда , . Сравнение этих выражений показывает, что вторичные волны приходят в точку z в одинаковой фазе и усиливают друг друга лишь при , т.е. при . Это условие пространственного синхронизма для удвоения частоты.

Одним из наиболее часто используемых процессов с изменением частот является генерация второй гармоники. Это явление позволяет преобразовать выходное излучение лазера Nd:YAG- лазера (1064 нм) или лазера на сапфире, легированного титаном (800 нм) в видимое, с длинами волн 532 нм (зеленое) или 400 нм (фиолетовое), соответственно.

На практике для реализации удвоения частоты света в выходной пучок лазерного излучения устанавливают нелинейный оптический кристалл, ориентированный строго определённым образом. Обычно используют кристаллы β-бората бария и ниобата лития LiNbO₃. Эти кристаллы имеют необходимые свойства, удовлетворяющие условию синхронизма, имеют особую кристаллическую симметрию, а также являются прозрачными в данной области спектра и устойчивы к лазерному излучению высокой интенсивности. Однако существуют органические полимерные материалы, которые, возможно, в будущем смогут вытеснить часть кристаллов, если будут более дешевы в изготовлении, более надежны или будут требовать более низких напряженностей полей для возникновения нелинейных эффектов.

Впервые удвоение частоты излучения рубинового лазера в кристалле кварца наблюдали в 1961 П. Франкен (P.Franken) с сотрудниками. В опытах Франкена генерация гармоник была очень слабым эффектом, кпд удвоения (относительная мощность гармоники) 10^-8. Однако уже к началу 1963 кпд оптических удвоителей достигали 20-30%. Решающую роль в этом сыграли реализация условий фазового синхронизма, согласование фазовых скоростей волн нелинейной поляризации и гармоники, осуществляющееся при 2 k ₁ = k ₂ и приводящее к синфазному сложению полей гармоник, генерирующихся в различных участках нелинейной среды. Таким образом, даже в условиях, когда локальный нелинейный эффект мал, накопление его на большой дистанции, управление "продольными" взаимодействиями приводят к энергообмену между волнами.

Принципиальное значение для нелинейной оптики имело создание лазеров с модулированной добротностью (1962), позволяющих получать при длительности импульсов ~ 10^-7- 10^-8 с интенсивности ~10¹⁰-10¹¹ Вт/см². Сильные поля лазеров с модулированной добротностью позволили начать исследования нелинейных эффектов, кубичных по полю. С помощью этих лазеров получены 3-я и 4-я оптические гармоники (1963-64), обнаружено явление вынужденного комбинационного рассеяния (1962). Оказалось, что в сильных лазерных полях взаимодействия электронных и колебательных движений в молекулах и кристаллах приводят к фазировке колебаний; рассеяние становится когерентным, интенсивность рассеянного света возрастает на много порядков.

Разность фаз между волнами в точке z равна

, (3.6.15)

где - расстояние между точками и , в которых эти волны генерированы. При в результате интерференции модуль амплитуды суммарной волны имеет максимальное значение, равное сумме модулей амплитуд интерферирующих волн. При увеличении модуль амплитуды суммарной волны уменьшается и обращается в ноль при . Следовательно, вторичные волны, генерированные на пути , удовлетворяющем в соответствии с (3.6.15) условию , дают в результате суперпозиции волну с отличной от нуля амплитудой,

(3.6.16)

- длина когерентности (характеризует расстояние, на котором разность фаз вторичных электромагнитных волн изменяется меньше, чем на ). Это условие пространственного синхронизма.

Амплитуда суммарной вторичной волны по мере распространения в среде изменяется периодически. Если первичная волна входит в среду в точке z =0, то напряженность суммарной вторичной волны в точке z внутри среды равна сумме напряженностей вторичных волн, генерируемых от 0 до z. Напряженность от излучателей между и равна

.

Тогда напряженность вторичной электромагнитной волны в точке z равна

Здесь . Воспользовавшись формулой для разности синусов, получаем

.

Эта формула показывает, что вторичная электромагнитная волна имеет удвоенную частоту и изменяющуюся амплитуду . На пути после входа волны в среду при условии амплитуда увеличивается, поскольку значение синуса растет от 0 до 1. Путь, при прохождении которого амплитуда достигает максимального значения, равен . Таким образом, если при генерации удвоенной частоты добиться соблюдения условия пространственного синхронизма (3.6.16) не удается, можно попытаться ее генерировать при прохождении излучения большой мощности через пластинку толщиной, равной длине когерентности. При этом на выходе из пластинки наблюдается удвоенная частота.

Рассматриваемый процесс представляет собой процесс обмена энергией между двумя волнами с частотами и 2 , происходящий посредством поляризации среды.

В нелинейной поляризованности третьего порядка присутствуют члены с утроенной частотой падающего излучения. Это приводит к генерации третьей гармоники. Можно также генерировать четвертую и дальнейшие гармоники.

На первый взгляд кажется, что благодаря наличию волн поляризованности можно аналогично генерации удвоенной частоты добиться генерации волн с частотами и . Однако это не так. Дело в том, что монохроматические волны в квантовой интерпретации представляются фотонами определенной частоты и импульса. Поэтому образование поляризованностью электромагнитной волны с частотой можно рассматривать как слияние фотонов с частотами . При этом одновременно должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, из которых следует, что порождаемая этой поляризованностью волна может рассматриваться как плоская с волновым вектором и частотой ω лишь в том случае, когда , и . Последнее равенство называется условием векторного пространственного синхронизма.

Поиск по сайту: