Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних. Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей средней, служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений усредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются негруппированные индивидуальные значения признака):

х͞ _{ариф пр.= =}

где x_1,x₂,…,x_n - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); n - число единиц совокупности.

Пример. Требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно,

cколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19;20. Средняя арифметическая простая равна:

х͞ _р = = =19,8

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная - средняя сгруппированных величин x_1,x₂,…,x_n - вычисляются по формуле:

х͞_{ариф. взвеш.} =

где ƒ_i - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

сумма произведении величины признаков на их частоты;

- общая численность единиц совокупности.

Иначе говоря, средняя арифметическая взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Технику вычисления средней арифметической взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в таблицу:

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

Х_{ариф. взвеш.}= = 19,8

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

х͞ _{ариф. взвеш.} =

где d = - частота, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных, частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны. Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, применяются в качестве вариантов.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних

x͞ _{гр. i} осуществляется по формуле:

х͞ _{ариф. взв.} =

где ƒ - число единиц в каждой группе.

В этом примере вариантами являются не индивидуальные данные о стаже работы отдельных рабочих, а средние по каждому цеху x͞ _гр. Весами ƒ являются численности рабочих в цехах. Отсюда средний стаж работы рабочих по всему предприятию составит:

х͞ _ариф = = = 6,85 лет.

Если значение усредняемого признака заданы в виде интервалов., т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Пример. Распределение рабочих АО по уровню оплаты труда:

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средним значениям (простая средняя арифметическая между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал

После того, как найдены середины интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду, - варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов):

х͞ _ариф = = = 1558 руб

Получили, что средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 14580 руб. в месяц.

Поиск по сайту: