Свойства средней арифметической величины

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равно нулю. Доказательство:

- x͞) = (x₁ -x͞) + (x₂ - x͞) +…+(x_n - x͞) = x₁ + x₂ +…+ x_n - nx͞ = - n =0

Примечание. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

Доказательство:

= = /c=

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.

Доказательство:

= = = x͞ +c

Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многообразных и слабо варьирующих значений признака.

4.Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

Доказательство:

= = x͞

Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Доказательство:

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

ƒ(a) =

Чтобы найти экстремум этой функции, нужно ее производную по а приравнять нулю:

= 2

Отсюда имеем:

n · a= ; a= = x͞

Таким образом, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при а=х͞. Так как логически ясно, что максимума функции не может иметь, этот экстремум является минимумом.

6. Произведение средней на сумму весов всегда равно сумме произведений вариантов на частоты

x͞ ·

Следствие: исчисляя среднюю, мы уравниваем конкретные варианты, заменяя их одним средним числом, которое как постоянный множитель выносим из-под знака суммы.

Необходимо также отметить, что если все веса равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная совпадает со средней арифметической простой.

Средняя гармоническая величина.

Если по условию задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомножителями в один из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая взвешенная. Данная форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности сельскохозяйственного производства.

Валовой сбор и урожайность подсолнечника по центрально-черноземному району (в хозяйствах всех категорий)*

Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т. п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:

ИСС =

Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по областям. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор по каждой области на урожайность.С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры:

х͞ = 9,9 ц/га.

Таким образом, общая посевная площадь подсолнечника по Центрально-Черноземному району составляла 389,3. тыс. га, а средняя урожайность- 9,9 ц с одного гектара.

В данном примере расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной:

х͞ _{гар. взв.} = , где w_{i =} х_i m_i.

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса w за ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая простая. Эта форма средней имеет следующий вид:

х͞ _{гар. пр.} =

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся условным примером. Пусть упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника фирмы, специализирующейся на торговле по почте. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., второй - 14 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (8 +14):2= 11 мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник.обрабатывает 7,5 заказов (60: 8), второй- 4,3 заказа (60: 14).В сумме

Поиск по сайту: