АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Числовые ряды

Читайте также:
  1. Знакопеременные ряды.
  2. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
  3. Обычаи, обряды.
  4. Основные числовые характеристики выборки.
  5. Числовые и степенные ряды
  6. Числовые показатели
  7. Числовые показатели
  8. Числовые показатели
  9. Числовые показатели
  10. Числовые показатели
  11. Числовые показатели
  12. Числовые показатели

Вопросы к коллоквиуму № 3

I семестр

 

1. Понятие числового ряда. Остаток ряда как сумма некоторого ряда. Арифметические свойства сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами. Признаки сравнения.

2. Признаки Даламбера, Коши, Раабе,интегральный признак Коши-Маклорена.

3. Абсолютная и условная сходимость рядов. Поведение частичных сумм абсолютно и условно сходящихся рядов. Признаки Лейбница, Абеля - Дирихле сходимости числовых рядов.

4. Теорема Коши о перестановках членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана о перестановках членов условно сходящегося ряда.

 

Числовые ряды.

Определение:

Возьмём последовательность и построим по ней ещё одну последовательность

 

Пара последовательностей (, ) называется числовым рядом и обозначается

– общий член ряда, n-й член ряда

– k-я частичная сумма ряда

 

 

Определение:

Число S называется суммой ряда:

 

 

Утверждение:

Пусть Тогда:

 

Доказательство:

Для конечных сумм верно тождество:

При предельном переходе k получаем:

 

 

Утверждение:

Доказательство:

 

 

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

Доказательство:

 

 

Примеры:

 

 

 

 

Утверждение:

 

Доказательство:

следующее равенство:

При предельном переходе по k получаем:

откуда и получаем утверждение, так как первое слагаемое в правой части – число.


Теорема (критерий Коши сходимости числового ряда):

Доказательство:

Знакопостоянные ряды.

Определение:

Утверждение:

Доказательство:

Теорема (признак сравнения, признак Вейерштрасса):

Доказательство:

Следствие (признак сравнения в предельной форме):

 

Доказательство:

Примеры:

Теорема (признак Д’Аламбера):

Доказательство:

Следствие (признакД’Аламбера в предельной форме):

Доказательство:

Теорема (признак Коши):

Доказательство:

Следствие (признак Коши в предельной форме):

Доказательство:

Теорема (интегральный признак Коши):

Доказательство:

 

Примеры:

Теорема (признак Куммера):

Доказательство:

Теорема (признак Гаусса):

·

·

·

·

 

Доказательство:

Комментарий к признаку Куммера:


1 | 2 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.203 сек.)