 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Приложения производных и дифференциалов
1. Формула Тейлора.
Приближение функции в окрестности точки 
многочленом может быть удобно в работе с этой функцией.
, где остаточный член 
, например, в форме Лагранжа, имеет вид 
, где 
(вообще говоря, 
зависит от 
и 
).
Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора при 
) для некоторых элементарных функций:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
Пример 12. Разложить многочлен 
по степеням 
.
Решение: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. 
.
Пример решения с использованием Maple:
>taylor(x^3+x^2+2*x-3,x=-1,4);
-5+3*(x+1)-2*(x+1)^2+1*(x+1)^3
Формула Тейлора n -го порядка точна для многочлена порядка n (
).
Пример 13. Вычислить приближенно с помощью первого дифференциала 
.
Решение: 
. Итак, 
.
Пример решения с использованием Maple:
>convert(subs(x=(Pi/36),taylor(tan(x),x=0,2)),polynom);
1/36*Pi
В примере 13 неизвестна точность приближенного вычисления. Покажем, как с помощью формулы Тейлора можно производить вычисления с гарантированной точностью.
Пример 14. Вычислить с точностью 
.
Решение: 
. 
. 
. 
. Итак, 
гарантирует заданную точность.
.
Пример решения с использованием Maple:
>C:=taylor(sin(x),x=Pi/6,5);
C:=series(1/2+(1/2*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)-1/4*(x-1/6*Pi)^2+(-
1/12*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)^3+1/48*(x-1/6*Pi)^4+O((x-1/6*Pi)^5),x=
-(-1/6*Pi),5)
>V:=subs(x=7/45*Pi,C); convert(evalf(V),polynom);
V:=1/2-1/180*3^(1/2)*Pi-1/32400*Pi^2+1/8748000*3^(1/2)*
Pi^3+1/3149280000*Pi^4+O(-1/5904900000*Pi^5)
.4694715632
1. Правило Лопиталя. Справедлива теорема:
Теорема 1. Пусть в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, 2 функции 
и 
, одновременно бесконечно малые или бесконечно большие, дифференцируемы и 
. При этом, если 
, то 
и они равны.
Пример 15. Вычислить 
.
Решение. 
.
Пример решения с использованием Maple:
>limit(ln(cos(x))/ln(cos(2*x)),x=0);
1/4
Пример 16. Вычислить 
.
Решение. 
.
Пример решения с использованием Maple:
>limit((2-x)^tan(Pi*x/2),x=1);
exp(2/Pi)
Пример 17. Вычислить 
.
Решение. 
.
Пример решения с использованием Maple:
>limit(x*cot(Pi*x),x=0);
1/Pi
2. Рассмотрим некоторые геометрические приложения производной. Уравнение касательной к графику функции 
в точке 
имеет вид 
. Если 
, то уравнение касательной 
. Уравнение нормали к графику в этой точке – 
. Если 
, то уравнение нормали
.
Пример 18. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
Решение. Вычислим 
– уравнение касательной; 
– уравнение нормали.
Пример решения с использованием Maple:
>V:=diff(x^2+y(x)^2,x);
V:=2*x+2*y(x)*diff(y(x),x)
>W:=solve(V=0,diff(y(x),x));
W:=-x/y(x)
>subs(x=1/sqrt(2),y(1/sqrt(2))=1/sqrt(2),W);
-1
*Здесь найден только угловой коэффициент касательной
Пример 19. Под какими углами пересекаются кривые 
и 
?
Решение. 
1. 
.
2. 
.
3. В силу симметрии кривых 
.
Здесь использована формула 
(см. Рис.).
Пример решения с использованием Maple:
>solve(x=x^3,x);
0 1 -1
>a:=diff(x,x); b:=diff(x^3,x);
a:=1
b:=3*x^2
>arctan(subs(x=0,(a-b)/(1+a*b)));
1/4*Pi
>arctan(subs(x=1,(b-a)/(1+a*b)));
arctan(1/2)
>arctan(subs(x=-1,(b-a)/(1+a*b)));
arctan(1/2)
Конец формы
Поиск по сайту: