Геометрии и механики

Пусть и , где -угол, образованный с положительным направлением оси ОХ касательной к кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, где -производная при .

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид

.

Угол между двумя кривыми и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке . Этот угол находится по формуле

.

8. Производные высших порядков

Если есть производная от функции , то производная от называется второй производной, или производной второго порядка и обозначается , или , или .

Аналогично определяются производные любого порядка:производная третьего порядка ; производная n-го порядка:

.

Для произведения двух функций можно получить производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:

Пример:

1)

9. Вторая производная от неявной функции

-уравнение определяет , как неявную функцию от х.

а) определим ;

б) продифференцируем по х левую и правую части равенства ,

причем, дифференцируя функцию по переменной х, помним, что есть функция от х:

;

в) заменяя через , получим: и т.д.

Пример:

10. Производные от функций, заданных параметрически

Пример:

Найти если .

11. Дифференциалы первого и высших порядков

Дифференциалом первого порядка функции называется главная, линейная относительно аргумента часть. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: .

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

.

Основные свойства дифференциала:

где .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и .

Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: .

Аналогично: .

.

Если и - независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

.

Пример.

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции

Поиск по сайту: