Условные развертки неразвертывающихся поверхностей

Лекция № 7, 8

Развертки.

План:

Развертки гранных поверхностей

Приближенные развертки развертывающихся поверхностей

Условные развертки неразвертывающихся поверхностей

Определение. Если поверхность, представляемую в виде тонкой, гибкой и не­растяжимой пленки, можно путем изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок, то поверхность, обладающая этим свойством, называется развертывающейся, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой. В математике доказано, что к развертывающимся относятся лишь три группы линейчатых поверхностей: конические, цилиндрические и торсовые (поверхности касательных к пространственной кривой). У этих поверхностей вдоль каждой прямолинейной образующей существует единственная касательная плоскость, у остальных линейчатых поверхностей вдоль обра­зующей прямой существует бесконечное множество таких плоскостей. Изгибание поверхности на плоскость приводит к соответствию, устанавливаемому между множеством точек поверхности и множеством точек ее развертки.

Это соответствие обладает следующими свойствами:

1) точке поверхности соответствует единственная точка развертки и наоборот;

2) длины соответственных линий поверхности и ее развертки равны;

3) углы, образованные линиями на поверхности, равны углам, образованным соответствующими линиями на развертке;

4) площади соответственных фигур на поверхности и на развертке равны.

Из приведенных свойств вытекают следствия:

1) прямая линия поверхности преобразуется в прямую линию развертки;

2) параллельные линии поверхности преобразуются в параллельные прямые ее развертки.

Для развертывающихся линейчатых поверхностей строятся графически при­ближенные развертки, поскольку в процессе построения развертки эти поверхности заменяются (аппроксимируются) вписанными или описанными многогран­ными поверхностями. Точные развертки аппроксимирующих многогранных по­верхностей принимаются за приближенные развертки развертывающихся поверхностей. Для поверхностей, которые не являются развертывающимися, стро­ятся условные развертки по следующей схеме:

НП⇒ РП⇒ ГП∼ ТР, где НП – не развертывающая поверхность, РП – развер­тывающаяся поверхность, ГП – гранная поверхность, ТР – точная развертка, ⇒ – этап аппроксимации предыдущей поверхности последующей. Поскольку в результате последовательных аппроксимаций исходная поверхность заменяется гранной, то рассмотрим вначале построения точных разверток гранных поверхностей.

Поиск по сайту: